Grundbegriffe & Sortierung
This commit is contained in:
parent
fa1fef8643
commit
43b6a68940
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@ -85,11 +85,14 @@
|
||||
%My Environments
|
||||
\newtheorem{example}[section]{Example}
|
||||
|
||||
%Tikz global setting
|
||||
\tikzset{
|
||||
topic/.style={
|
||||
% Turn off header and footer
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
topic/.style={
|
||||
text centered,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
text width=6cm,
|
||||
level distance=1mm,
|
||||
sibling distance=5mm,
|
||||
rounded corners=2pt
|
||||
@ -105,67 +108,66 @@
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-0.6cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=3cm,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.205) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
description/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-0.5cm,
|
||||
xshift=-2cm,
|
||||
text width=7cm,
|
||||
right,
|
||||
text centered,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.200) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.189) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
level1/.style ={level distance=1cm},
|
||||
level2/.style ={level distance=2cm},
|
||||
level3/.style ={level distance=3cm},
|
||||
level4/.style ={level distance=4cm},
|
||||
level5/.style ={level distance=5cm},
|
||||
level6/.style ={level distance=6cm},
|
||||
level7/.style ={level distance=7cm},
|
||||
level8/.style ={level distance=8cm},
|
||||
level9/.style ={level distance=9cm},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=5.5cm},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=9cm},
|
||||
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
|
||||
}
|
||||
|
||||
% Turn off header and footer
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität}
|
||||
child{node [subtopic]{Sprache}
|
||||
child [theme, level1] { node {Chomsky Hierachie}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {Typ 0: Allgemein \\ jede Grammatik ist vom Typ 0}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {Typ 1: Kontextsensitiv \\ wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$}}
|
||||
child[description, level distance=3cm] { node {Typ 2: Kontextfrei \\ wenn $l\in V$ und $r\in (V\cup \sum)^*$ gilt}}
|
||||
child[description, level distance=4cm] { node {Typ 3: Regulär \\ wenn $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$ gilt}}
|
||||
]
|
||||
%topic
|
||||
\node[topic]{Grundbegriffe}
|
||||
child{node [subtopic]{Wort}
|
||||
child[theme, level distance=1cm] { node { Präfix}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {wenn es $z\in\sum^*$ gibt mit $yz=w$}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=3cm] { node { Infix/Faktor }
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {wenn es $x,z\in\sum^*$ gibt mit $xyz = w$}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=5cm] { node { Suffix}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {wenn es $x\in\sum^*$ gibt mit $xy=w$}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic]{Wort}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node { y Präfix von w, wenn es $z\in\sum^*$ gibt mit $yz=w$}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node { y Infix/Faktor von w, wenn es $x,z\in\sum^*$ gibt mit $xyz = w$}}
|
||||
child[description, level distance=3cm] { node { y Suffix von w, wenn es $x\in\sum^*$ gibt mit $xy=w$}}
|
||||
child{node [subtopic]{Sprache}
|
||||
child [theme, level distance=1cm] { node {Chomsky Hierachie}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {Typ 0: Allgemein \\ jede Grammatik ist vom Typ 0}}
|
||||
child[description, level distance=2.5cm] { node {Typ 1: Kontextsensitiv \\ wenn es Wörter $u,v,w\in(V\cup\sum)^*,|v|>0$ und ein Nichtterminal $A\in V$ gibt mit $l=uAw$ und $r=uvw$}}
|
||||
child[description, level distance=4cm] { node {Typ 2: Kontextfrei \\ wenn $l\in V$ und $r\in (V\cup \sum)^*$ gilt}}
|
||||
child[description, level distance=5.2cm] { node {Typ 3: Regulär \\ wenn $l\in V$ und $r\in \sum V\cup {\epsilon}$ gilt}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=7.4cm]{node {Kleene Abschluss $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$}
|
||||
%child[description, level distance=1cm]{node{$L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic]{Grammatik}
|
||||
child[theme, level distance=1cm] { node {Symbole}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {Nicht-Terminale (oder Variablen), aus denen noch weitere Wortbestandteile abgeleitet werden sollen}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {Terminale (die "eigentlichen" Symbole)}}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {Nicht-Terminale, Großbuchstaben, Elemente aus V}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {Terminale, Kleinbuchstaben, Elemente aus $\sum$}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=4cm]{ node {4-Tupel $G=(V,\sum, P, S)$}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminalen oder Variablen}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {$\sum$ ist ein Alphabet (Menge der Terminale)}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {$\sum$ ist Alphabet (Menge der Terminale)}}
|
||||
child[description, level distance=3cm] { node {$P$ ist eine endliche Menge von Regeln oder Produktionen}}
|
||||
child[description, level distance=4cm] { node {$S\in V$ ist das Startsymbol oder das Axiom}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=8cm]{ node {Konventionen}
|
||||
child[description, level distance=1cm] { node {Variablen sind Großbuchstaben (Elemente aus V)}}
|
||||
child[description, level distance=2cm] { node {Terminale sind Kleinbuchstaben (Elemente aus $\sum$)}}
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
topic/.style={
|
||||
text centered,
|
||||
text width=6cm,
|
||||
level distance=1mm,
|
||||
sibling distance=5mm,
|
||||
rounded corners=2pt
|
||||
},
|
||||
subtopic/.style={
|
||||
yshift=1.5cm,
|
||||
text centered,
|
||||
@ -173,161 +175,251 @@
|
||||
rounded corners=2pt,
|
||||
fill=gray!10
|
||||
},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=5.5cm},
|
||||
theme/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-0.6cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.205) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
description/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-2cm,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
right,
|
||||
text centered,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.189) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=7cm},
|
||||
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
|
||||
]
|
||||
% Topic
|
||||
\node[topic]{Automaten, Sprachen \& Komplexität}
|
||||
child{node [subtopic] {intuitiv berechenbar}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{$\mu$ rekurisv}}
|
||||
child[theme, level distance=2cm]{node{while berechnenbar}}
|
||||
child[theme, level distance=3cm]{node{Turing berechenbar}}
|
||||
child[theme, level distance=4cm]{node{goto berechnenbar}}
|
||||
\node[topic]{intuitiv (loop) berechenbar}
|
||||
child{node [subtopic]{$\mu$ rekurisv}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Definition}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$\mu f:\mathbb{N}^k\rightarrow\mathbb{N}$ definiert durch }}
|
||||
child[description, level distance=2cm]{node{$\mu f(n_1,...,n_k)= min\{m| f(m,n_1,...,n_k)=0$ und }}
|
||||
child[description, level distance=3cm]{node{$\forall x< m: f(x,n_1,...,n_k) \text{ definiert } \}$.}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic]{while berechnenbar}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Definition}
|
||||
child[description, level distance=1.2cm]{node{$x_i=c; x_i=x_j+c; x_i=x_j-c$ mit $c\in\{0,1\}$ und $i,j\geq 1$ (Wertzuweisung) oder }}
|
||||
child[description, level distance=2.5cm]{node{$P_1;P_2$, wobei $P_1$ und $P_2$ bereits While Programme sind oder }}
|
||||
child[description, level distance=4cm]{node{while $x_i\not = 0$ do P end, wobei P ein While Programm ist und $i\geq 1$. }}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=6.5cm]{node {Gödel Vermutung}}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic]{goto berechnenbar}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{endliche nichtleere File $P=A_1;A_2;...;A_m$ von Anweisungen $A_i$ der Form}
|
||||
child[description, level distance=1.5cm]{node{$x_i=c, x_i=x_j+c, x_i=x_j-c$ mit $c\in\{0,1\}$ und $i,j\geq 1$}}
|
||||
child[description, level distance=3cm]{node{goto l mit $0\leq l\leq m$ (unbedingter Sprung)}}
|
||||
child[description, level distance=4.5cm]{node{if $x_i=0$ then l mit $i\geq 1$ und $0\leq l \leq m$ (bedingter Sprung)}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic]{Turing berechenbar}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Berechnung}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{Eingabe $x$ ist anfänglicher Bandinhalt}}
|
||||
child[description, level distance=2.2cm]{node{Ausgabe $f(x)$ ist Bandinhalt (ohne Blanks am Rand)beim Erreichen eines Endzustands}}
|
||||
child[description, level distance=3.6cm]{node{Hält die TM für die gegebene Eingabe nicht an, ist $f(x)$ an dieser Stelle undefiniert.}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=5.8cm]{node{Church-Turing-These}
|
||||
child[description, level distance=1.2cm]{node{Alle im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen können mit Turingmaschinen berechnet werden.}}
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
Definition: Sei L eine Sprache. Dann ist $L*=\bigcup_{n\geq 0} L^n$ der Kleene-Abschluss oder die Kleene-Iteration von L. Weiter ist $L+ = \bigcup_{n\geq 0} L^n$
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
topic/.style={
|
||||
text centered,
|
||||
text width=6cm,
|
||||
level distance=1mm,
|
||||
sibling distance=5mm,
|
||||
rounded corners=2pt
|
||||
},
|
||||
subtopic/.style={
|
||||
yshift=1.5cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
rounded corners=2pt,
|
||||
fill=gray!10
|
||||
},
|
||||
theme/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-1.6cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=5cm,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.192) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
description/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-2cm,
|
||||
text width=5.3cm,
|
||||
right,
|
||||
text centered,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.189) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=7cm},
|
||||
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
|
||||
]
|
||||
\node[topic]{Rechtslineare Sprachen}
|
||||
child{node [subtopic] {endliche Automaten (Maschinen)}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{deterministischer endlicher Automat M}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$Z$ eine endliche Menge von Zuständen}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum = \emptyset$)}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$z_0\in Z$ der Startzustand}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$\delta: Z \times \sum \rightarrow Z$ die Übergangsfunktion}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{$E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{kurz: DFA (deterministic finite automaton)}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$}}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{Eine Sprache $L \supseteq \sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt}}
|
||||
%Jede reguläre Sprache ist rechtslinear
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{DFA $M$}
|
||||
child[description, level distance=1.2cm]{node{von einem DFA akzeptierte Sprache ist: $L(M)={w\in\sum^* | \hat{\delta}(z_0,w)\in E}$}}
|
||||
child[description, level distance=2.6cm]{node{Eine Sprache $L \supseteq \sum^*$ ist regulär, wenn es einen DFA mit $L(M)=L$ gibt}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{nicht-deterministischer endlicher Automat M}
|
||||
%Jede von einem NFA akzeptierte Sprache ist regulär
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node{kurz NFA}}
|
||||
child[theme, level distance=4.8cm]{node{NFA $M$}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Jede von einem NFA akzeptierte Sprache ist regulär}}
|
||||
}
|
||||
%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cup L_2$ regulär.
|
||||
%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1 \cap L_2$ regulär.
|
||||
%Satz: Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch $L_1L_2$ regulär
|
||||
%Satz: Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann ist auch $L^+/L^*$ regulär
|
||||
child[theme, level distance=7cm]{node{Satz}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Wenn $L_1$ und $L_2$ reguläre Sprachen sind, dann ist auch}}
|
||||
child[description, level distance=2cm]{node { $L_1 \cup L_2$ regulär}}
|
||||
child[description, level distance=3cm]{node {$L_1 \cap L_2$ regulär}}
|
||||
child[description, level distance=4cm]{node {$L_1L_2$ regulär}}
|
||||
child[description, level distance=5cm]{node {$L_1^+/L_1^*$ regulär}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=13cm]{node{ Jede reguläre Sprache ist rechtslinear}}
|
||||
}
|
||||
child{description, level distance}{node{Reguläre Ausdrücke
|
||||
% Definition: Die Menge $Reg(\sum)$ der **regulären Ausdrücke über dem Alphabet $\sum$** ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
|
||||
% - $\varnothing \in Reg(\sum), \lambda \in Reg(\sum), \sum \subseteq Reg(\sum)$
|
||||
% - Wenn $\alpha, \beta \in Reg(\sum)$, dann auch $(\alpha * \beta), (\alpha + \beta), (\alpha^*)\in Reg(\sum)$
|
||||
%- für $\alpha * \beta$ schreibt man oft $\alpha\beta$
|
||||
% für $\alpha + \beta$ schreibt man auch $\alpha|\beta$
|
||||
|
||||
%Für einen regulären Ausdruck $\alpha \in Reg(\sum)$ ist die Sprache $L(\alpha)\subseteq \sum^*$ induktiv definiert
|
||||
|
||||
%zu jedem regulären Ausdruck $\gamma$ gibt es einen NFA M mit $L(\gamma)=L(M)$
|
||||
%zu jedem DFA M gibt es einen regulären Ausdruck $\gamma$ mit $L(M)=L(\gamma)$
|
||||
}}
|
||||
%- Rechtslineare Grammatiken
|
||||
% - Verbindung zur Chomsky Hierarchie
|
||||
% - erzeugen Sprachen
|
||||
% - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört
|
||||
%- NFA
|
||||
% - erlauben kleine Kompakte Darstellung
|
||||
% - intuitive graphische Notation
|
||||
% - nicht geeignet, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort zur Sprache gehört
|
||||
%- DFA
|
||||
% - für effiziente Beantwortung der Frage, ob ein Wort zur Sprache gehört
|
||||
% - sind uU exponentiell größer als NFA
|
||||
%- Reguläre Ausdrücke
|
||||
% - erlauben kompakte Darstellung in Textform
|
||||
child{node [subtopic] {Nicht-Reguläre Sprachen}
|
||||
% Für jedes Alphabet $\sum$ existiert eine Sprache L über $\sum$, die von keiner Grammatik G erzeugt wird.
|
||||
child[theme, level distance=2cm]{node{ Pumping Lemma}
|
||||
%Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit:
|
||||
%1. $x=uvw$
|
||||
%2. $|uv|\leq n$
|
||||
%3. $|v|\geq 1$
|
||||
%4. $uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$
|
||||
|
||||
%Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache. Es ist geeignet, Aussagen über Nicht-Regularität zu machen. Dabei ist es aber nur eine notwendige Bedingung. Es kann nicht genutzt werden, um die Regularität einer Sprache L zu zeigen.
|
||||
child{node [subtopic] {Reguläre Ausdrücke}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node {Definition}
|
||||
child[description, level distance=1.4cm]{node {Die Menge $Reg(\sum)$ der regulären Ausdrücke über dem Alphabet $\sum$ ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:}}
|
||||
child[description, level distance=2.9cm]{node {$\varnothing \in Reg(\sum), \lambda \in Reg(\sum), \sum \subseteq Reg(\sum)$}}
|
||||
child[description, level distance=4cm]{node {Wenn $\alpha, \beta \in Reg(\sum)$, dann auch $(\alpha * \beta), (\alpha + \beta), (\alpha^*)\in Reg(\sum)$}}
|
||||
child[description, level distance=5cm]{node {für $\alpha * \beta$ schreibt man oft $\alpha\beta$}}
|
||||
child[description, level distance=6cm]{node {für $\alpha + \beta$ schreibt man auch $\alpha|\beta$}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=8.5cm]{node {Für einen regulären Ausdruck $\alpha \in Reg(\sum)$ ist die Sprache $L(\alpha)\subseteq \sum^*$ induktiv definiert}
|
||||
child[description, level distance=1.5cm]{node {zu jedem regulären Ausdruck $\gamma$ gibt es einen NFA M mit $L(\gamma)=L(M)$}}
|
||||
child[description, level distance=3cm]{node {zu jedem DFA M gibt es einen regulären Ausdruck $\gamma$ mit $L(M)=L(\gamma)$}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {Nicht-Reguläre Sprachen}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{ Pumping Lemma}
|
||||
child[description, level distance=1.5cm]{node {L sei reguläre Sprache, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit}}
|
||||
child[description, level distance=3cm]{node {$x=uvw$, $|uv|\leq n$, $|v|\geq 1$}}
|
||||
child[description, level distance=4cm]{node {$uv^i w\in L$ für alle $i\geq 0$}}
|
||||
child[description, level distance=5cm]{node {geeignet um Aussagen über Nicht-Regularität zu machen}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=7cm]{node{ Myhill-Nerode Äquivalenz}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {binäre Relation $R_L \subseteq \sum^* \times \sum^*$}}
|
||||
child[description, level distance=2.3cm]{node {$\forall x,y\in \sum^*$ setze $(x,y)\in R_L$ genau dann, wenn $\forall z \in \sum^* :(xy\in L \leftrightarrow yz \in L)$ gilt. $x R_L y$}}
|
||||
child[description, level distance=4cm]{node {Für Sprache L und Wort $x\in \sum^*$ ist $[x]_L=\{y\in\sum^* | x R_L y \}$ die Äquivalenzklasse von x}}
|
||||
child[description, level distance=5.5cm]{node {Satz: L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=3cm]{node{ Myhill-Nerode Äquivalenz}
|
||||
%Für eine Sprache $L\subseteq \sum^*$ definieren wir eine binäre Relation $R_L \subseteq \sum^* \times \sum^*$ wie folgt: Für alle $x,y\in \sum^*$ setze $(x,y)\in R_L$ genau dann, wenn $\forall z \in \sum^* :(xy\in L \leftrightarrow yz \in L)$ gilt. Wir schreiben hierfür auch $x R_L y$.
|
||||
% Definition: Für eine Sprache L und ein Wort $x\in \sum^*$ ist $[x]_L=\{y\in\sum^* | x R_L y \}$ die Äquivalenzklasse von x. Ist L klar, so schreiben wir einfacher $[x]$.
|
||||
%Satz von Myhill-Nerode: Sei L eine Sprache. L ist regulär $\leftrightarrow index(R_L)< \infty$ (d.h. nur wenn die Myhill-Nerode-Äquivalenz endliche Klassen hat)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {Minimalautomat}
|
||||
%Ein DFA M heißt reduziert, wenn es für jeden Zustand $z \in Z$ ein Wort $x_z\in \sum^*$ gibt mit $\hat{\sigma}(l, x_z)=z$
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {Entscheidbarkeit}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Wortproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Leerheitsproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Endlichkeitsproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Schnittproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Inklusionsproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Äquivalenzproblem}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Wortproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Gilt $w\in L$ für eine gegebene reguläre Sprache L und $w\in\sum^*$?}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=3cm]{node{Leerheitsproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Gilt $L=\varnothing$ für eine gegebene reguläre Sprache L?}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=5cm]{node{Endlichkeitsproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Ist eine gegebene reguläre Sprache L endlich?}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=7cm]{node{Schnittproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Gilt $L_1\cap L_2=\varnothing$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=9cm]{node{Inklusionsproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Gilt $L_1 \subseteq L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?}}
|
||||
}
|
||||
child[theme, level distance=11cm]{node{Äquivalenzproblem}
|
||||
child[description, level distance=1cm]{node {Gilt $L_1=L_2$ für gegebene reguläre $L_1,L_2$?}}
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node[topic]{Kontextfreie Sprachen}
|
||||
child{node [subtopic] { Ableitungsbäume}}
|
||||
child{node [subtopic] {Linksableitung}}
|
||||
child{node [subtopic] {Chomsky Normalform}}
|
||||
child{node [subtopic] {Der Cocke-Younger-Kasami- oder CYK-Algorithmus}}
|
||||
child{node [subtopic] {Kellerautomaten}}
|
||||
child{node [subtopic] {die Greibach-Normalform}}
|
||||
child{node [subtopic] {PDAs mit Endzuständen}}
|
||||
child{node [subtopic] {Deterministisch kontextfreie Sprachen}}
|
||||
child{node [subtopic] {das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen}}
|
||||
child{node [subtopic] {das Lemma von Ogden (William Ogden)}}
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node[topic]{Berechenbarkeit}
|
||||
child{node [subtopic] {Loop-Berechenbarkeit}}
|
||||
child{node [subtopic] {While Programme}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Gödels Vermutung}}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {GoTo Programme}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Kleenesche Normalform}}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {Turing Berechenbarkeit}}
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node[topic]{Entscheidbarkeit}
|
||||
child{node [subtopic] {Halteproble}}
|
||||
child{node [subtopic] {Reduktion}}
|
||||
child{node [subtopic] {Rechnen mit Kodierungen}}
|
||||
child{node [subtopic] {Satz von Rice}}
|
||||
child{node [subtopic] {Semi Entscheidbarkeit}}
|
||||
child{node [subtopic] {Universelle Turing Maschine}}
|
||||
child{node [subtopic] {Totale berechenbare Funktionen}}
|
||||
child{node [subtopic] {Einige unentscheidbare Probleme}}
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
topic/.style={
|
||||
text centered,
|
||||
text width=6cm,
|
||||
level distance=1mm,
|
||||
sibling distance=5mm,
|
||||
rounded corners=2pt
|
||||
},
|
||||
subtopic/.style={
|
||||
yshift=1.5cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=3.5cm,
|
||||
rounded corners=2pt,
|
||||
fill=gray!10
|
||||
},
|
||||
theme/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-1.6cm,
|
||||
text centered,
|
||||
text width=4cm,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.192) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
description/.style={
|
||||
grow=down,
|
||||
xshift=-2cm,
|
||||
text width=3.5cm,
|
||||
right,
|
||||
text centered,
|
||||
edge from parent path={(\tikzparentnode.189) |- (\tikzchildnode.west)}
|
||||
},
|
||||
level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
|
||||
level 1/.append style={level distance=2.5cm},
|
||||
]
|
||||
\node[topic]{Komplexitätstheorie}
|
||||
child{node [subtopic] {Berechenbarkeitstheorie}}
|
||||
child{node [subtopic] {Frage der Komplexitätstheorie}}
|
||||
child{node [subtopic] {Komplexitätsklassen}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Zeitklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Deterministische Platzklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Zeitklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{Nichtdeterministische Platzklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=2cm]{node{Deterministische Platzklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=3cm]{node{Nichtdeterministische Zeitklassen}}
|
||||
child[theme, level distance=4cm]{node{Nichtdeterministische Platzklassen}}
|
||||
}
|
||||
child{node [subtopic] {Polynomialzeit-Reduktionen}}
|
||||
child{node [subtopic] {NP-Vollständigkeit}}
|
||||
child{node [subtopic] {Weitere NP-vollständige Probleme}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{3-SAT ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{3C ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{DHC ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{HC ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=1cm]{node{TSP ist NP-vollständige}}
|
||||
child[theme, level distance=2cm]{node{3C ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=3cm]{node{DHC ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=4cm]{node{HC ist NP-vollständig}}
|
||||
child[theme, level distance=5cm]{node{TSP ist NP-vollständige}}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{multicols*}{3}
|
||||
\paragraph{deterministischer endlicher Automat M}
|
||||
\begin{itemize*}
|
||||
\item 5-Tupel $M=(Z, \sum, z_0, \delta, E)$
|
||||
\item $Z$ eine endliche Menge von Zuständen
|
||||
\item $\sum$ das Eingabealphabet (mit $Z\cap\sum = \emptyset$)
|
||||
\item $z_0\in Z$ der Startzustand
|
||||
\item $\delta: Z \times \sum \rightarrow Z$ die Übergangsfunktion
|
||||
\item $E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände
|
||||
\item kurz: DFA (deterministic finite automaton)
|
||||
\end{itemize*}
|
||||
|
||||
\section{Turingmaschine}
|
||||
Definition: Eine Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Phi, \delta, z_o, \Box, E)$, wobei
|
||||
\begin{itemize*}
|
||||
\item $\sum$ das Eingabealphabet
|
||||
\item $\Phi$ mit $\Phi\supseteq\sum$ und $\Phi\cap Z\not= 0$ das Arbeits- oder Bandalphabet,
|
||||
\item $z_0\in Z$ der Startzustand,
|
||||
\item $\delta:Z\times\Phi\rightarrow(Z\times\Phi\times\{L,N,R\})$ die Überführungsfunktion
|
||||
\item $\Box\in\Phi/\sum$ das Leerzeichen oder Blank und
|
||||
\item $E\subseteq Z$ die Menge der Endzustände ist
|
||||
\end{itemize*}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Linksableitung}
|
||||
\section{CYK-Algorithmus}
|
||||
\section{Kellerautomaten}
|
||||
\section{die Greibach-Normalform}
|
||||
\section{das Lemma von Ogden (William Ogden)}
|
||||
\section{Halteproblem}
|
||||
\section{Reduktion}
|
||||
\section{Satz von Rice}
|
||||
\section{Semi Entscheidbarkeit}
|
||||
\section{Universelle Turing Maschine}
|
||||
\section{Totale berechenbare Funktionen}
|
||||
\section{Einige unentscheidbare Probleme}
|
||||
|
||||
\end{multicols*}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@ -501,7 +501,7 @@ Um zu zeigen, dass eine konkrete Sprache L regulär ist, kann man
|
||||
- zeigen, dass $L=L_1 \cap L_2$ ist und $L_1$ und $L_2$ regulär sind, oder
|
||||
- ...
|
||||
|
||||
### Pumping Lemma (auswendig lernen!)
|
||||
### Pumping Lemma
|
||||
Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es $n\leq 1$ derart, dass für alle $x\in L$ mit $|x|\geq n$ gilt: es gibt Wörter $u,v,w \in \sum^*$ mit:
|
||||
1. $x=uvw$
|
||||
2. $|uv|\leq n$
|
||||
@ -604,7 +604,7 @@ Ausgabe: Menge der Paare erkennungsäquivalenter Zustände
|
||||
Fragestellungen/Probleme für reguläre Sprachen
|
||||
|
||||
### Wortproblem
|
||||
Gilt $w\in L$ für eine gegebene reguläre Sprache L und $w\in\sum^*$
|
||||
Gilt $w\in L$ für eine gegebene reguläre Sprache L und $w\in\sum^*$?
|
||||
|
||||
Eingabe: DFA M und $w\in\sum^*$
|
||||
|
||||
@ -1225,7 +1225,7 @@ Loop berechenbare Funktionen können sehr schnell wachsen, die Ackermann Funktio
|
||||
|
||||
Konstruktion: Für $f:\N\rightarrow\N$ sei $F(f)=g:\N\rightarrow\N$ definiert durch $$g(y)=\begin{cases} f(1)\quad\text{falls } y=0\\ f(g(y-1)) \quad\text{falls } y>0\end{cases}$$ Also ist $F:\N^{\N}\rightarrow\N^{\N}$ Funktion, die numerische Funktionen auf numerische Funktionen abbildet. Wir definieren nun ein Folge von Funktionen $ack_x:\N\rightarrow\N$ für $x\in\N$:
|
||||
- $ack_0:\N\rightarrow\N:y\rightarrow y+1$
|
||||
- $ack_{x+1}=F(ack_x), d.h.
|
||||
- $ack_{x+1}=F(ack_x)$, d.h.
|
||||
- $ack_{x+1}(y) = \begin{cases} ack_x(1) \quad\text{falls } y=0\\ ack_x(ack_{x+1}(y-1)) \quad\text{falls } y>0 \end{cases}$
|
||||
|
||||
> Definition: Die Funktion $ack:\N^2\rightarrow\N$ mit $ack(x,y,)=ack_x(y)$ heißt Ackermann Funktion
|
||||
@ -1344,7 +1344,7 @@ Idee:
|
||||
- Dann wieder nach links laufen und jede 1 durch 0 ersetzen, solange bis eine 0 oder ein Leerzeichen auftaucht.
|
||||
- Dieses Zeichen dann durch 1 ersetzen, bis zum Zahlanfang laufen und in einen Endzustand übergehen.
|
||||
|
||||
> Definition: Eine Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Phi, \delta, z_o, \Box, E)$, weobei
|
||||
> Definition: Eine Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel $M=(Z,\sum, \Phi, \delta, z_o, \Box, E)$, wobei
|
||||
> - $\sum$ das Eingabealphabet
|
||||
> - $\Phi$ mit $\Phi\supseteq\sum$ und $\Phi\cap Z\not= 0$ das Arbeits- oder Bandalphabet,
|
||||
> - $z_0\in Z$ der Startzustand,
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user