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## Core latex/pdflatex auxiliary files:
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*.aux
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*.lof
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@ -85,16 +85,18 @@ Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen
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- $p \leftrightarrow q$ "genau dann wenn"
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\paragraph{Wahrheitswerteverlauf}
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| p | q | $p\wedge q$ | $p\vee q$ | $\neg q$ | $p\rightarrow q$ | $p\leftrightarrow q$ |
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| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
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| f | f | f | f | w | w | w |
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| f | w | f | w | w | w | f |
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| w | f | f | w | f | f | f |
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| w | w | w | w | f | w | w |
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\begin{tabular}{ l | c | c | c | c | c | c }
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p & q & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $\neg q$ & $p\rightarrow q$ & $p\leftrightarrow q$
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\hline
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f & f & f & f & w & w & w
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f & w & f & w & w & w & f
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w & f & f & w & f & f & f
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w & w & w & w & f & w & w
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\end{tabular}
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\begin{description}
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\item[Aussagenlogische Variablen] Variable die den Wert w oder f annimmt
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\item[Aussagenlogische Formel] Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster
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\item[Aussagenlogische Formel] Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obigen Muster
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\item[Belegung] Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel
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\item[Wahrheitswerteverlauf] Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable
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\item[Tautologie] Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist
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@ -185,20 +187,20 @@ Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A
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Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A
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\begin{itemize}
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\item Reflexiv $\leftrightarrow$ xRx $\forall x \in A$
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\item Symetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$
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\item Antisymetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$
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\item symmetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$
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\item Antisymmetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$
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\item Transitiv $\leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz$
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\item totale Relation $\leftrightarrow xRy \vee yRx \forall x,y \in A$
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\end{itemize}
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\begin{itemize}
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\item R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symetrisch und transitiv
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\item R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymetrisch und transitiv
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\item R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symmetrisch und transitiv
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\item R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
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\item R heißt Totalordnung $\leftrightarrow$ R Ordnung und total
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\item R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv
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\end{itemize}
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\paragraph{Äqivalenzrelation}
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Sei A Menge, $C\wp (A)$ Menge von teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt:
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Sei A Menge, $C\wp (A)$ Menge von Teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt:
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1. $UC=A$ d.h. jedes $x\in A$ liegt in (wenigstens) einem $y\in C$
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2. $\emptyset \not \in C$ d.h. jedes $y\in C$ enthält (wenigstens) ein Element von A
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3. $X \cap Y = \emptyset$ f.a. $X\not \in Y$ aus C
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@ -212,7 +214,7 @@ Ein Graph $G=(V,E)$ ist ein Paar bestehend aus einer Menge V und $E\subseteq (x,
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Zu $a,b\in V$ heißt eine Folge $P=x_1,..,x_n$ von paarweise verschiedenen Ebenen mit $a=x_0, b=x_j; x_{j-1},x_i \in E{a*i \in b*j}$ ein a,b-Weg der Länge l oder Weg a nach b. Durch $a\sim b$ gibt es einen a,b-Weg in G, wird eine Äquivalenzrelation auf V definiert, denn:
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\begin{itemize}
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\item "$\sim$ reflexiv": es ist $x\sim x$, denn $P=x$ ist ein x,x-Weg in G
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\item "$\sim$ symetrisch": aus $x\sim y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y\sim x$
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\item "$\sim$ symmetrisch": aus $x\sim y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y\sim x$
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\item "$\sim$ transitiv": aus $x\sim y$ und $y\sim x$ folgt, es gibt einen x,y-Weg und einen y,x-Weg
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\end{itemize}
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Die Äquivalenzklassen von $\sim _G$ erzeugen die Zusammenhangskomponenten von G
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@ -229,13 +231,13 @@ Sei also $leq$ eine Ordnung auf X. Seo $A\subseteq X, b\in X$
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\item b untere Schranke von A $\leftrightarrow b\leq c f.a. c\in A$
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\item b obere Schranke von A $\leftrightarrow c\leq b f.a. c\in A$
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\item b kleinste obere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist kleinstes Element von $(b'\in X: \text{b' obere Schranke von A})$ auch Supremum von A: $\lor A = b$
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\item b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist das größte Element von $(b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} )$ auch Infinium von A; $\land A = b$
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\item b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist das größte Element von $(b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} )$ auch Infinum von A; $\land A = b$
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\end{itemize}
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kleinstes und größtes Element sind jew. eindeutig bestimmt (falls existent)
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Satz: Sei X Menge. $\subseteq$ ist Ordnung auf $\wp(X)$. Ist $O\subseteq \wp(X)$, so ist $sup O=\bigcup O$ und $inf O=\bigcap O$
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Satz: Die Teilbarkeitsrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Es gibt $sup(a,b)=kgV(a,b)$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und $inf(a,b)=ggT(a,b)$ (größtes gemeinsames Vielfaches)
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Satz: Die Teilbarkeitrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Es gibt $sup(a,b)=kgV(a,b)$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und $inf(a,b)=ggT(a,b)$ (größtes gemeinsames Vielfaches)
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\paragraph{Hesse Diagramm}
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Darstellung einer Ordnung $\subseteq$ auf X
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@ -356,7 +358,7 @@ Satz: $m+n=n+m$ f.a. $m,n\in\mathbb{N}$ (Beweis induktiv über m)
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Satz: $l+(m+n)=(l+m)+n$ f.a. $l,m,n\in\mathbb{N}$ (Klammern sind neutral bzgl +)
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Satz (Streichungsregel): aus $a+n=b+n$ folgt $a=b$ f.a. $a,b,n\in\mathbb{N}$
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Satz (Streichungregel): aus $a+n=b+n$ folgt $a=b$ f.a. $a,b,n\in\mathbb{N}$
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\paragraph{Analog: Multiplikation}
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$*: \mathbb{N} x \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ wird definiert durch:
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@ -585,7 +587,7 @@ Satz: Sind $(\Omega, p_1),...,(\Omega, p_m)$ Wahrscheinlichkeitsräume so ist du
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$(\Omega, p)$ heißt Produktraum von $(\Omega_1, p_1),...$.
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$(\Omega, p)$ Wahrscheinlichkeitsraum; $A,B\in \Omega$ heißen (stochastisch) unabhängig, falls $p(A\cap B) = p(A)*p(B)$.
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Bespiel: $p(A\cap B) = p({i,j}) =p_1{i}*p_2{j} = p(A)*p(B)$ für das Ereignis "der 1. Würfel zeigt i, der 2. Würfel zeigt j"
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Beispiel: $p(A\cap B) = p({i,j}) =p_1{i}*p_2{j} = p(A)*p(B)$ für das Ereignis "der 1. Würfel zeigt i, der 2. Würfel zeigt j"
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\paragraph{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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$(\Omega, p)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $B\subseteq \Omega$ ("bedingtes Ereignis") mit $p(B)>0$, dann ist $p_B:B\rightarrow [0,1]; p_B(\omega)=\frac{p(\omega)}{p(B)}$ eine Verteilung auf B, denn $\sum p_b(\omega)=\sum \frac{p(\omega)}{p(B)}=\frac{1}{p(B)} \sum p(\omega)= \frac{1}{p(B)} p(B)= 1$.
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@ -597,7 +599,7 @@ Satz (Totale Wahrscheinlichkeit): Seien $A_1, ...,A_k$ paarweise disjunkt, $\big
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Satz (Bayer, erweitert): $A_1,...,A_k,B$ wie eben, $p(B)>0$. Für $i\in {1,...,k}$ gilt $p(A_i|B)=\frac{p(B|A_i)*p(A_i)}{\sum p(B|A_j)*p(A_j)}$
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Bespiel: In einem Hut liegen drei beidseitig gefärbte Karten. Jemand zieht ("zufällig") eine Karte und leg sie mit einer ("zufälligen") Seite auf den Tisch. Karten rot/rot, rot/blau und blau/blau. Gegeben er sieht rot, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist?
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Beispiel: In einem Hut liegen drei beidseitig gefärbte Karten. Jemand zieht ("zufällig") eine Karte und leg sie mit einer ("zufälligen") Seite auf den Tisch. Karten rot/rot, rot/blau und blau/blau. Gegeben er sieht rot, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist?
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p(unten rot | oben rot) = p(unten rot und oben rot)/p(oben rot) = $\frac{p\binom{r}{r}}{p(\binom{r}{r}\binom{r}{b})}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{2}{3}$
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Eine Funktion $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ heißt (reellwertige) Zufallsvariable. Weil $\Omega$ endlich ist, ist auch $X(\Omega)={X(\omega): \omega \in \Omega}\subseteq \mathbb{R}$ endlich. Durch $p_x(x):=p(X=x):=p({\omega \in \Omega: X(\omega)=x})$ wird ein Wahrscheinlichkeitsraum $(X(\Omega),p_x)$ definiert; denn $\sum p_x(x)=p(\Omega)=1$. $p_x$ heißt die von X induzierte Verteilung. $X(\Omega)$ ist meist erheblich kleiner als $\Omega$.
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@ -638,7 +640,7 @@ Für $n\in \mathbb{N}$ sei $n!=n(n-1)(n-2)...*3*2*1=\prod i$; für $n\in\mathbb{
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Satz: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ für jedes $n\in\mathbb{N}$, $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$ für $k\geq 1$ und $k\leq n-1$.
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Zweiter Teil: $[\binom{n-1}{k}]+[\binom{n-1}{k-1}]=\frac{n!}{k!(n-k)!} = [\binom{n}{k}]$. Also stimmen die Rekursionsgleichungen von $\binom{n}{k}$ und $[\binom{n}{k}]$ überein sowie $\binom{n}{k}=[\binom{n}{k}]$. Folglich ist die Anzahl k-elementiger Teilmengen eine n-elementige Menge gleich $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
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Seien $X_1,...,X_n$ unabhängige ZVAen, alle $X_i$ seien Bernoulli-Verteilt im Parameter $p[0,1]$, d.h. $p(X_1=1)=p$, $p(X_i=0)=(1-p)$. Dann ist $X_i=X_1+X_2+...+X_n$ ebenfalls reelwertige ZVA. Im Fall $X_i:\Omega\rightarrow {0,1}$ ist $X:\Omega\rightarrow {0,1,...,n}$. Die Verteilung von X ergibt sich wie folgt, für $k\in {0,1,...,n}$: $p(X=k)=\binom{n}{k}*p^k(1-p)^{n-k}$
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Seien $X_1,...,X_n$ unabhängige ZVAen, alle $X_i$ seien Bernoulli-Verteilt im Parameter $p[0,1]$, d.h. $p(X_1=1)=p$, $p(X_i=0)=(1-p)$. Dann ist $X_i=X_1+X_2+...+X_n$ ebenfalls reellwertige ZVA. Im Fall $X_i:\Omega\rightarrow {0,1}$ ist $X:\Omega\rightarrow {0,1,...,n}$. Die Verteilung von X ergibt sich wie folgt, für $k\in {0,1,...,n}$: $p(X=k)=\binom{n}{k}*p^k(1-p)^{n-k}$
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Eine ZVA heißt binominalverteilt in den Parametern n und p falls gilt: $p(X=k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$ für $k\in{0,1,...,n}$; schreibe $X\sim L(n,p)$. Sonst ist X Bernoulliverteilt (genau dann wenn $X\sim L(1,p)$).
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@ -660,7 +662,7 @@ $E(X)=\sum_{x=0}^M \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=...=n*\frac
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$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 =...= n*\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\binom{N-n}{N-1})$
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\section{Elementare Graphentheorie}
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$G=(V,E)$ heißt Graph mit Eckenmenge $V(G)=V$ und Kantenmenge $E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}$. Veranschaulichung als Punkte in der Ebene (V) mit "Verknüpfungslinien" von x nach y. Bsp $G=({1,2,3,4},{12,13,14,15,16})$.
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$G=(V,E)$ heißt Graph mit Eckenmenge $V(G)=V$ und Kantenmenge $E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}$. Veranschaulichung als Punkte in der Ebene (V) mit "Verknüpfunglinien" von x nach y. Bsp $G=({1,2,3,4},{12,13,14,15,16})$.
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$P=x_0,...,x_e$ Folge pw verschiedener Ecken mit $x_{i-1},...,x_i \in E(k)$ für $i\in{1,...,l}$ heißt ein Weg von $x_0$ nach $x_e$ der Länge l. Für $(a,b)\in V(G)$ heißt $d_G(a,b)=min(l: \text{ es gibt einen a,b-Weg der Länge l} )$ Abstand von a nach b. Falls es keinen a,b-Weg gibt, definiere $d_G(a,b)=+\infty$.
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@ -751,7 +753,7 @@ Eliminiere Mehrfachnennungen in der Folge. Gibt es $i\not= j$ mit $x_j=x_i$ so s
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G Graph, $k\geq 0$. Eine Funktion $f:V(G)\rightarrow C$ mit $|C|\leq k$ heißt k-Färbung, falls $f(x)\not = f(y)$ für $xy\in E(G)$. G heißt k-färbbar, falls G eine k-Färbung besitzt. Das kleinste $k\geq 0$ für das G k-färbbar ist heißt dramatische Zahl von G, Bezeichnung $X(G)$.
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Satz (Tuga): Sei $k\geq 2$ und G ein Graph ohne Kreise eine Lösung $l\equiv 1 mod k$, dann ist G k-faltbar. G 2-färbbar $\leftrightarrow$ G hat keine Kreise ungerader Länge. Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls $(x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A)$ für alle $xy \in E(G)$ gilt. Genau dann ist G bipoartit mit gewissen Klassen A,B wenn G 2-färbbar ist.
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Satz (Tuga): Sei $k\geq 2$ und G ein Graph ohne Kreise eine Lösung $l\equiv 1 mod k$, dann ist G k-faltbar. G 2-färbbar $\leftrightarrow$ G hat keine Kreise ungerader Länge. Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls $(x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A)$ für alle $xy \in E(G)$ gilt. Genau dann ist G bipartit mit gewissen Klassen A,B wenn G 2-färbbar ist.
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Satz (Hall): Sei G bipartit mit Klassen A,B. Dann gilt G hat ein Matching von A $\leftrightarrow |N_G(X)|\leq |X|$ für alle $X\subseteq A$.
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BIN
Grundlagen und Diskrete Strukturen - short.pdf
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BIN
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Grundlagen und Diskrete Strukturen - short.tex
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@ -0,0 +1,408 @@
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\documentclass[10pt,landscape]{article}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{calc}
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\usepackage{ifthen}
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\usepackage[landscape]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
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\usepackage{color,graphicx,overpic}
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\usepackage{hyperref}
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\pdfinfo{
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/Title (Grundlagen und Diskrete Strukturen - Short Script)
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/Creator (TeX)
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/Producer (pdfTeX 1.40.0)
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/Author (Robert Jeutter)
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/Subject (Grundlagen und Diskrete Strukturen)
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}
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% This sets page margins to .5 inch if using letter paper, and to 1cm
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% if using A4 paper. (This probably isn't strictly necessary.)
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% If using another size paper, use default 1cm margins.
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\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
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||||
{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
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{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
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||||
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
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||||
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
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}
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% Turn off header and footer
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\pagestyle{empty}
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% Redefine section commands to use less space
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\makeatletter
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\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{0.5ex plus .2ex}%x
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{\normalfont\large\bfseries}}
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{1ex plus .2ex}%
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{\normalfont\small\bfseries}}
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\makeatother
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% Define BibTeX command
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\def\BibTeX{{\rm B\kern-.05em{\sc i\kern-.025em b}\kern-.08em
|
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T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125emX}}
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% Don't print section numbers
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
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%My Environments
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\newtheorem{example}[section]{Example}
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% -----------------------------------------------------------------------
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\begin{document}
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\raggedright
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\footnotesize
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\begin{multicols}{3}
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% multicol parameters
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% These lengths are set only within the two main columns
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%\setlength{\columnseprule}{0.25pt}
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\setlength{\premulticols}{1pt}
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\setlength{\postmulticols}{1pt}
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\setlength{\multicolsep}{1pt}
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\setlength{\columnsep}{2pt}
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\section{Aussagen}
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||||
Aussagen sind Sätze die wahr oder falsch sind.
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\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c }
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p & q & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $\neg q$ & $p\rightarrow q$ & $p\leftrightarrow q$\\
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f & f & f & f & w & w & w \\
|
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f & w & f & w & w & w & f \\
|
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w & f & f & w & f & f & f \\
|
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w & w & w & w & f & w & w \\
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||||
\end{tabular}
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\begin{description}
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||||
\item[Tautologie] Wahrheitswerteverlauf konstant w
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\item[Kontradiktion] Wahrheitswerteverlauf konstant f
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||||
\item[Äquivalenz] wenn $p\leftrightarrow$ Tautologie ist. $p \equiv q$
|
||||
\item[Disjunkt] Zwei Mengen $X\cap Y = \emptyset$
|
||||
\item[Atom] die bzgl $\leq$ minimalen Elemente von $B /\perp$
|
||||
\end{description}
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\section{Mengen}
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"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens" ~ Cantor
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||||
Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder nicht.
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\paragraph{Wunsch 0}
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||||
${x \in A: \neg (x=x)}=\emptyset$ die leere Menge
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||||
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||||
\paragraph{Wunsch 1}
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||||
"$x\in y$" x ein Element von y oder nicht.
|
||||
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||||
\paragraph{Wunsch 2}
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||||
$B={x\in A:p(x) wahr}$ B aus wahren p(x) aus A
|
||||
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||||
\paragraph{Wunsch 3}
|
||||
$x=y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \leftrightarrow z\in y)$.
|
||||
|
||||
\paragraph{Wunsch 4}
|
||||
$y: \leftrightarrow \forall z:(z\in x \rightarrow z \in y) [x \subseteq y]$
|
||||
|
||||
\paragraph{Teilmengen}
|
||||
A Teilmenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in A \rightarrow x \in B):\Rightarrow A\subseteq B$\
|
||||
A Obermenge von B $\leftrightarrow \forall x: (x\in B \rightarrow x \in A):\Rightarrow A\supseteq B$\
|
||||
Folglich $A=B \leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A$\
|
||||
Schnittmenge von A und B: $A\cap B = {x: x\in A \wedge x\in B}$\
|
||||
Vereinigungsmenge von A und B: $A\cup B = {x: x\in A \vee x\in B}$\
|
||||
Seien A,B Mengen, dann sei $A/B:={x\in A: x\not \in B } = A\bigtriangleup B$
|
||||
|
||||
\section{Relationen}
|
||||
Eine Relation von Mengen A nach B ist eine Teilmenge R von AxB.\
|
||||
$(x,y)\in R:$ x steht in einer Relation R zu y; auch xRy\
|
||||
|
||||
\paragraph{binäre Relation}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Allrelation $R:=AxA \subseteq AxA$
|
||||
\item Nullrelation $R:=\emptyset \subseteq AxA$
|
||||
\item Gleichheitsrelation $R:={(x,y)... x=y}$
|
||||
\item $A=R; R:=((x,y)\in \mathbb{R} x \mathbb{R}, x \leq y)$
|
||||
\item $A=\mathbb{Z}; R:=\{(x,y)\in \mathbb{Z} x \mathbb{Z}: \text{x ist Teiler von y} \}$ kurz: x|y
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\end{itemize}
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\paragraph{Eigenschaften von Relationen}
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Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A
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\begin{itemize}
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\item Reflexiv $\leftrightarrow \text{ xRx } \forall x \in A$
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\item symmetrisch $\leftrightarrow \text{ xRy } \rightarrow \text{ yRx }$
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\item Antisymmetrisch $\leftrightarrow \text{ xRy } \wedge yRx \rightarrow x=y$
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\item Transitiv $\leftrightarrow \text{ xRy } \wedge \text{ yRz } \rightarrow \text{ xRz }$
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\item totale Relation $\leftrightarrow \text{ xRy } \vee \text{ yRx } \forall x,y \in A$
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\end{itemize}
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R heißt:
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\begin{itemize}
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\item Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symmetrisch und transitiv
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\item Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
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\item Totalordnung $\leftrightarrow$ R Ordnung und total
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\item Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv
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\end{itemize}
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\paragraph{Äqivalenzrelation $\sim$}
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Sei $C\wp (A)$. C heißt Partition/Klasse von A, falls gilt:
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\begin{itemize}
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\item $\bigcup C=A$ d.h. jedes $x\in A$ liegt in (min) einem $y\in C$
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\item $\emptyset \not \in C$ d.h. jedes $y\in C$ enthält (min) ein Element von A
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||||
\item $x \cap y = \emptyset$ f.a. $x\not \in y$ aus C
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\end{itemize}
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Ein Graph $G=(V,E)$ ist ein Paar bestehend aus einer Menge V und $E\subseteq (x,y: x \not = y \text{ aus V} )$.
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Zu $a,b\in V$ heißt eine Folge $P=x_1,..,x_n$ von paarweise verschiedenen Ebenen mit $a=x_0, b=x_j; x_{j-1},x_i \in E{a*i \in b*j}$ ein a,b-Weg der Länge l oder Weg a nach b. Durch $a\sim b$ gibt es einen a,b-Weg in G, wird eine Äquivalenzrelation auf V definiert, denn:
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\begin{itemize}
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||||
\item "$\sim$ reflexiv": es ist $x\sim x$, denn $P=x$ ist ein x,x-Weg in G
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\item "$\sim$ symmetrisch": aus $x\sim y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y\sim x$
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||||
\item "$\sim$ transitiv": aus $x\sim y$ und $y\sim x$ folgt, es gibt einen x,y-Weg und einen y,x-Weg
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\end{itemize}
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\paragraph{(Halb) Ordnungen}
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Sei $leq$ eine Ordnung auf X. Sei $A\subseteq X, b\in X$
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\begin{itemize}
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\item b minimal in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(c\leq b \rightarrow c=b f.a. c\in A)$
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||||
\item b maximal in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(b\leq c \rightarrow b=c f.a. c\in A)$
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||||
\item b kleinstes Element in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(b\leq c f.a. c\in A)$
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||||
\item b größtes Element in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(c\leq b f.a. c\in A)$
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||||
\item b untere Schranke von A $\leftrightarrow b\leq c f.a. c\in A$
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||||
\item b obere Schranke von A $\leftrightarrow c\leq b f.a. c\in A$
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||||
\item b kleinste obere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist kleinstes Element von $(b'\in X: \text{b' obere Schranke von A})$ auch Supremum von A: $\lor A = b$
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||||
\item b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist das größte Element von $(b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} )$ auch Infinum von A; $\land A = b$
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\end{itemize}
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kleinstes und größtes Element sind jew. eindeutig bestimmt (falls existent)
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\paragraph{Wohlordnungssatz}
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Jede Menge lässt sich durch eine Ordnung so ordnen, dass jede nichtleere Teilmenge von X darin ein kleinstes Element ist.
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\section{Induktion}
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Menge M heißt induktiv $:\leftrightarrow \emptyset \in M \wedge \forall X \in M, \{X^+ \in M\}$.\
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Ist O eine Menge von induktiven Mengen, $O\pm O$ dann ist auch $\bigcap O$ induktiv. Insbesondere ist der Durchschnitt zweier induktiver Mengen induktiv.
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\paragraph{Induktion I}
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Sei $p(n)\in \mathbb{N}$. Gelte $p(0)$ und $p(n)\rightarrow p(n^{+})$ f.a. $n\in \mathbb{N}$ dann ist $p(n)$ wahr f.a. $n \in \mathbb{N}$.
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\paragraph{Induktion II}
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||||
Sei $p(n)\in \mathbb{N}$, gelte $\{\forall x < n: p(x)\} \rightarrow p(n)$ f.a. $n\in \mathbb{N}$. Damit ist $p(n)$ wahr für alle $n\in \mathbb{N}$.
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\section{Funktionen}
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Eine Relation $f\subseteq A x B$ heißt Funktion $f:A\rightarrow B$ ("A nach B") falls es zu jedem $x\in A$ genau ein $y\in B$ mit $(x,y)\in f$ gibt.\
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Satz: $f:A\rightarrow B, g:A\rightarrow B$, dann gilt $f=g \leftrightarrow f(x)=g(x)$.\
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||||
Sei $f:A\rightarrow B$ Funktion, f heißt:
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\begin{itemize}
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||||
\item injektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat höchstens ein Urbild $(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)$
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\item subjektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat wenigstens ein Urbild $f(x)=y$
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||||
\item bijektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat genau ein Urbild; injektiv und surjektiv
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\end{itemize}
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||||
Ist $f:A\rightarrow B$ bijektiv, dann ist auch $f^{-1}\subseteq BxA$ bijektiv, die Umkehrfunktion von f.\
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Mit $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow C$, wird durch $(g \circ f)(x):=g(f(x))$ eine Funktion $g \circ f: A \rightarrow C$ definiert.\
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Satz: ist $f:A\rightarrow B$ bijektiv, so ist $f^{-1}$ eine Funktion B nach A.\
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Mengen A,B, heißen gleichmächtig ($|A|=|B| \equiv A\cong B$) falls Bijektion von A nach B.\
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Eine Menge A heißt endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl ist; sonst heißt A unendlich.\
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||||
Eine Menge A heißt Deckend-unendlich, falls es eine Injektion $f:A\rightarrow B$ gibt die nicht surjektiv ist.\
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A heißt höchstens so mächtig wie B, falls es eine Injektion von A nach B gibt: $|A|\leq |B|$ bzw $A\preceq B$ (Quasiordnung).
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Für zwei Mengen A,B gilt $|A|\leq |B|$ oder $|B| \leq |A|$. Eine Relation f heißt partielle Bijektion (oder Matching), falls es Teilmengen $A'\subseteq A$ und $B'\subseteq B$ gibt sodass f eine Bijektion von A' nach B' gibt.
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\paragraph{Kontinuitätshypothese}
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Aus $|\mathbb{N}|\leq |A| \leq |\mathbb{R}|$ folgt $|A|=|\mathbb{N}|$ oder $|A|=|\mathbb{R}|$ (keine Zwischengrößen).
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\section{Gruppen, Ringe, Körper}
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Eine Operation auf eine Menge A ist eine Funktion $f:AxA\rightarrow A$; schreibweise $xfy$. Eine Menge G mit einer Operation $\circ$ auf G heißt Gruppe, falls gilt:
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\begin{itemize}
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\item $a\circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c$ freie Auswertungsfolge
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\item es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $a\circ e=a$ und $e\circ a=a$ f.a. $a\in G$
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||||
\item $\forall a\in G \exists b\in G: \{a\circ b=e\} \vee \{b\circ a=e\}; b=a^{-1}$
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\end{itemize}
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||||
kommutativ/abelsch, falls neben 1.,2. und 3. außerdem gilt:
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\begin{itemize}
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\item $a\circ b = b\circ a$ f.a. $a,b \in G$
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\end{itemize}
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Eine Bijektion von X nach X heißt Permutation von X. $(S_X, \circ)$ ist eine Gruppe.
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||||
Zwei Gruppen $(G, \circ_G)$ und $(H,\circ_H)$ heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus $(G,\circ_G)\cong (H,\circ_H)$ von $(G,\circ_G)$ nach $(H,\circ_H)$ gibt.
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\paragraph{Addition von $\mathbb{N}$}
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$+: \mathbb{N} x \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ wird definiert durch:
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\begin{itemize}
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\item $m+0:=m$ f.a. $m\in \mathbb{N}$ (0 ist neutral)
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||||
\item $m+n$ sei schon definiert f.a. $m\in \mathbb{N}$ und $n\in \mathbb{N}$
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||||
\item $m+n^+:=(m+n)^+$ f.a. $m,n \in \mathbb{N}$
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\end{itemize}
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\paragraph{Multiplikation}
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$*: \mathbb{N} x \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ wird definiert durch:
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\begin{itemize}
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||||
\item $m*0:=0$ f.a. $m\in \mathbb{N}$
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\item $m*n^+=m*n+m$ f.a. $n\in\mathbb{N}$
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\end{itemize}
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\paragraph{ganze Zahlen $\mathbb{Z}$}
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Durch $(a,b)\sim (c,d)\leftrightarrow a+d=b+c$ wird eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb{N} x\mathbb{N}$ definiert.
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Die Äquivalenzklassen bzgl $\sim$ heißen ganze Zahlen (Bezeichnung $\mathbb{Z}$. Wir definieren Operationen +, * auf $\mathbb{Z}$ durch:
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\begin{itemize}
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||||
\item $[(a,b)]_{/\sim } + [(c,d)]_{/\sim } = [(a+c, b+d)]_{/\sim }$
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\item $[(a,b)]_{/\sim } * [(c,d)]_{/\sim } = [(ac+bd, ad+bc)]_{/\sim }$
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\end{itemize}
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||||
Satz: $\mathbb{Z}$ ist eine abelsche Gruppe (+ assoziativ, enthält neutrales Element, additiv Invers).
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Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Operationen $+,*: \mathbb{R} x \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit:
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\begin{itemize}
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\item $a+(b+c) = (a+b)+c$ f.a. $a,b,c\in \mathbb{R}$
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||||
\item Es gibt ein neutrales Element $O\in \mathbb{R}$ mit $O+a=a+O=O$ f.a. $a\in\mathbb{R}$
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||||
\item zu jedem $a\in \mathbb{R}$ gibt es ein $-a\in \mathbb{R}$ mit $a+(-a)=-a+a=0$
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||||
\item $a+b=b+a$ f.a. $a,b\in\mathbb{R}$
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||||
\item $a*(b*c)=(a*b)*c)$ f.a. $a,b,c\in\mathbb{R}$
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||||
\item $a*(b+c)=a*b+a*c$ f.a. $a,b,c\in\mathbb{R}$
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||||
\end{itemize}
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||||
R heißt Ring mit 1, falls:
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\begin{itemize}
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||||
\item es gibt ein $1\in\mathbb{R}$ mit $a*1=1*a=a$ f.a. $a\in\mathbb{R}$
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\end{itemize}
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||||
R heißt kommutativ, falls:
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\begin{itemize}
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||||
\item $a*b=b*a$ f.a. $a,b\in\mathbb{R}$
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\end{itemize}
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||||
Ein kommutativer Ring mit $1\not=O$ heißt Körper, falls:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item zu jedem $a\in\mathbb{R}$ gibt es ein $a^{-1}\in\mathbb{R}$ mit $a*a^{-1}=1$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Ist $\mathbb{R}$ ein Körper, so ist $\mathbb{R}*=\mathbb{R} /(0)$ mit $*$ eine abelsche Gruppe.
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||||
\item $\mathbb{Z}$ mit + und * ist ein kommutativer Ring mit $1 \not= 0$ aber kein Körper
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\item $\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{R}$ mit + und * ist ein Körper
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\end{itemize}
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\paragraph{Zerlegen in primäre Elemente}
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Jede ganze Zahl $n>0$ lässt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
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\paragraph{Konstruktion von rationalen Zahlen aus $\mathbb{Z}$}
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Sei $M=\mathbb{Z} x(\mathbb{Z} /{0})$ die Menge von Brüchen. Durch $(a,b)\sim (c,d)\leftrightarrow ad=bc$ wird Äquivalenzrelation auf M durchgeführt. Definiere Operationen +,* auf $\mathbb{Q}$ wie folgt:
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\begin{itemize}
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||||
\item $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{b*d}$ (wohldefiniert)
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||||
\item $\frac{a}{b}*\frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
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\end{itemize}
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||||
Satz: $\mathbb{Q}$ mit +,* ist ein Körper.
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\paragraph{Ring der formalen Potenzreihe}
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Sei k ein Körper. Eine Folge $(a_0, a_1,...,a:n)\in K^{\mathbb{N}}$ mit Einträgen aus K heißt formale Potenzreihe $K[[x]]$. Die Menge aller Polynome wird mit $K[x]$ bezeichnet. $K[[x]]$ wird mit +,* zu einem kommutativen Ring mit $1\not=0$
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item +: $(a_0,a_1,...) + (b_0,b_1,...) = (a_o+b_0, a_1+b_1, ...)$
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||||
\item *: $(a_0,a_1,...) + (b_0,b_1,...) = (c_0, c_1,...)$ mit $c_K=\sum_{j=a}^{k} a_j*b_{k-j}$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
B mit $\vee, \wedge, \bar{ }$ seien boolesche Algebren. Sie heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus von B nach $\dot{B}$ gibt, d.h. eine Bijektion $\phi: B \rightarrow \dot{B}$ mit:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\phi(a\vee b) =\phi(a)\dot{\vee}\phi(b)$
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||||
\item $\phi(a\wedge b)=\phi(a)\dot{\wedge}\phi(b)$
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||||
\item $\phi(\bar{a}) = \dot{\bar{\phi(a)}}$
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||||
\end{itemize}
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Lemma: Sei B mit $\vee, \wedge, \bar{}$ eine boolesche Algebra, dann gilt:
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\begin{itemize}
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\item $a\vee T = T$ f.a. $a\in B$
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||||
\item $a\wedge \perp = \perp$ f.a. $a\in B$
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||||
\item $a\vee b$ ist obere Schranke von ${a,b}$, d.h. $a\leq a\vee b$, dann $a\vee(a\vee b)=a\vee b$
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||||
\item $a\vee b$ ist kleinste obere Schranke, d.h. $a\leq z$ und $b\leq z$ folgt $a\vee b \leq z$
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||||
\end{itemize}
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\section{Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume}
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Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar $(\Omega, p)$ bestehend aus einer endlichen Menge $\Omega$ und einer Funktion $p:\Omega \rightarrow [0,1]\in \mathbb{R}$ mit $\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1$. Jeder derartige p heißt Verteilung auf $\Omega$. Die Elemente aus $\Omega$ heißen Elementarereignis, eine Teilmenge A von $\Omega$ heißt ein Ereignis; seine Wahrscheinlichkeit ist definiert durch $p(A):=\sum_{\omega in A} p(\omega)$.\
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||||
$A=\emptyset$ und jede andere Menge $A\subseteq \Omega$ mit $p(A)=0$ heißt unmöglich (unmögliches Ereignis).\
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||||
$A=\Omega$ und jede andere Menge $A\subseteq \Omega$ mit $p(A)=1$ heißt sicher (sicheres Ereignis).\
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||||
Es gilt für Ereignisse $A,B,A_1,...,A_k$:
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\begin{itemize}
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||||
\item $A\subseteq B \rightarrow p(A)\leq p(B)$
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||||
\item $p(A\cup B) \rightarrow p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
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||||
\item disjunkt($A_i \cap A_J=\emptyset$ für $i\not =j$) so gilt $p(A_1 \cup ... \cup A_k)= p(A_1)+...+p(A_k)$
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||||
\item $p(\Omega / A):=$ Gegenereignis von $A=1-p(A)$
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\item $p(A_1,...,A_k) \leq p(A_1)+...+p(A_k)$
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\end{itemize}
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||||
$(\Omega, p)$ heißt Produktraum von $(\Omega_1, p_1),...$.\
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||||
$A,B\in \Omega$ heißen (stochastisch) unabhängig, falls $p(A\cap B) = p(A)*p(B)$.
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\paragraph{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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$B\subseteq \Omega$ ("bedingtes Ereignis") mit $p(B)>0$, dann ist $p_B:B\rightarrow [0,1]; p_B(\omega)=\frac{p(\omega)}{p(B)}$ eine Verteilung auf B. Für $A\subseteq \Omega$ gilt $p_B(A\cap B)=\sum p_B(\omega)=\sum\frac{p(\omega)}{p(B)}= \frac{p(A\cap B)}{p(B)}:= p(A|B)$ bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B. $p(A|B)=\frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)}$\
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||||
\paragraph{Erwartung, Varianz, Covarianz}
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||||
Erwartungswert $E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)p(\omega)$\
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Linearität von E: $E(x+y)=E(x)+E(y)$ und $E(\alpha x)=\alpha E(x)$.\
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||||
Varianz von X: $Var(X)=E((X^2)-E(X))^2)$\
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||||
Covarianz: $Cov(X,Y)=E((X-E(X))*(Y-E(Y)))$\
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||||
Verschiebungssatz: $Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)$\
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||||
$Var(X)=Cov(X,X)=E(X*X)-E(X)E(X)=E(X^2)-(E(X))^2$\
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||||
Sind X,Y stochastisch unabhängig ZVA, so ist $E(X)*E(Y)=E(X*Y)$; folglich $Cov(X,Y)=0$\
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||||
Bernoulliverteilt falls $p(X=1)=p$ und $p(X=0)=1-p$, $p\in [0,1]$. $E(X)=\sum x*p(X=x)= 1*p(X=1)=p$
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||||
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||||
\paragraph{Binominalkoeffizienten}
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N sei Menge, dann ist $\binom{N}{k} := (x \subseteq N: \text{x hat genau k Elemente } (|x|=k) )$ für $k\in \mathbb{N}$.
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||||
$\binom{N}{0}=(\emptyset)$, $\binom{N}{n}={N}\rightarrow \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
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||||
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||||
\paragraph{Hypergeometrische Verteilung}
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Beispiel: Urne mit zwei Sorten Kugeln; N Gesamtzahl der Kugeln, M Gesamtzahl Kugeln Sorte 1, N-M Gesamtzahl Kugeln Sorte 2, $n\leq N$ Anzahl Elemente einer Stichprobe. X Anzahl der Kugeln Sorte 1 in einer zufälligen n-elementigen Stichprobe.
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||||
$p(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$\
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||||
$E(X)=\sum_{x=0}^M \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=...=n*\frac{M}{N}$\
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||||
$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 = n*\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\binom{N-n}{N-1}$
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||||
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||||
\section{Elementare Graphentheorie}
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||||
$G=(V,E)$ heißt Graph mit Eckenmenge $V(G)=V$ und Kantenmenge $E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}$.\
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||||
Für $(a,b)\in V(G)$ heißt $d_G(a,b)=min(l: \text{ es gibt einen a,b-Weg der Länge l} )$ Abstand von a nach b.\
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||||
G heißt zusammenhängend, wenn G höchstens eine Komponente besitzt.
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\begin{itemize}
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\item $d_G(x,y)=0 \leftrightarrow x=y$ f.a. $x,y \in V(G)$
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||||
\item $d_G(x,y)=d_G(y,x)$ f.a. $x,y\in V(F)$
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||||
\item $d_G(x,z)\leq d_G(x,y) + d_G(y,z))$ f.a. $x,y,z \in V(G)$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
$\leq$ ist Ordnung, denn:
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\begin{itemize}
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||||
\item $G\leq G$
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||||
\item $H\leq G \wedge G\leq H \rightarrow H=G$
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||||
\item $H\leq G \wedge G=L \rightarrow H\leq L$
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\end{itemize}
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Ein Teilgraph H des Graphen G heißt aufspannend, falls $V(H)=V(G)$. Weiter $N_G(x):={x\in V(G): xy \in E(G)}$ die Menge der nachbarn von x in G. Hier gilt: $|N_G(x)=d_G(x)|$. In jedem Graph G gilt $\sum_{x\in V(G)} d_G(x)=2|E(G)|$. Der Durchschnittsgrad von G ist somit $\bar{d(G)}=\frac{1}{|V(G)|}\sum d_G(x)=\frac{2|E(G)|}{|V(G)|}$.
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||||
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||||
Ein Graph ist ein Baum wenn "G ist minimal zusammenhängend und kreisfrei"
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\begin{itemize}
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||||
\item G ist kreisfrei und zusammenhängend
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\item G kreisfrei und $|E(G)|=|V(G)|-1$
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||||
\item G zusammenhängend und $|E(G)|=|V(G)|-1$
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||||
\end{itemize}
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||||
Breitensuchbaum von G falls $d_F(z,x)=d_G(z,x)$ f.a. $z\in V(G)$.\
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||||
Tiefensuchbaum von G falls für jede Kante zy gilt: z liegt auf dem y,x-Weg in T oder y liegt auf dem z,t-Weg in T.
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||||
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||||
Satz: Sei G zusammenhängender Graph $x\in V(G)$.
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||||
(X) sind $x_0,...,x_{e-1}$ schon gewählt und gibt es ein $+ \in (0,..., e-1)$ so, dass $x_{+}$ einen Nachbarn y in $V(G)\ (x_0,...,x_{e-1} )$, so setze $x_e=y$ und $f(e):=t$; iteriere mit $e+1$ statt e.
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||||
Dann ist $T:=({x_0,...,x_e},{x_j*x_{f(j)}: j\in {1,...,e}})$ ein Spannbaum
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item f(e) wird in + stets kleinstmöglich gewählt, so ist T ein Breitensuchbaum
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||||
\item f(e) wird in + stets größtmöglich gewählt, so ist T ein Tiefensuchbaum
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||||
\end{itemize}
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||||
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\paragraph{Spannbäume minimaler Gewichte}
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Sei G zuständiger Graph, $\omega:E(G)\rightarrow \mathbb{R}$; Setze $F=\emptyset$. Solange es eine Kante $e\in E(G)/F$ gibt so, dass $F \vee (e)$ kreisfrei ist, wähle e mit minimalem Gewicht $\omega(e)$, setzte $F=F\vee {e}$, iterieren. Das Verfahren endet mit einem Spannbaum $T=G(F)$ minimalen Gewichts.
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\paragraph{Das Traveling Salesman Problem}
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Konstruiere eine Folge$x_0,...,x_m$ mit der Eigenschaft, dass jede Kante von T genau zweimal zum Übergang benutzt wird, d.h. zu $e\in E(T)$ existieren $i\not = j$ mit $e=x_i x_{i+1}$ und $e=x_j x_{j+1}$ und zu jedem k existieren $e\in E(T)$ mit $e=x_k x_{k+1}$. Das Gewicht dieser Folge sei $\sum \omega(x_i x_{i+1})= 2\omega(T)$.
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Eliminiere Mehrfachnennungen in der Folge. Durch iteration erhält man einen aufspannenden Kreis mit $\omega(X) \leq 2 \omega(T)$.
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\paragraph{Färbung \& bipartit}
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Eine Funktion $f:V(G)\rightarrow C$ mit $|C|\leq k$ heißt k-Färbung, falls $f(x)\not = f(y)$ für $xy\in E(G)$.
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Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls $(x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A)$. Mit Bipartitheit gilt G hat ein Matching von A $\leftrightarrow |N_G(X)|\leq |X|$ für alle $X\subseteq A$.
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\end{multicols}
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\end{document}
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README.md
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@ -5,8 +5,9 @@ Unterlagen zu Informatik Vorlesungen der TU Ilmenau
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bisher:
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- [Algorithmen und Datenstrukturen](Algorithmen%20und%20Datenstrukturen.md)
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- [Einführung in die Medizinische Informatik](Einführung%20in%20die%20Medizinische%20Informatik.md)
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- [Grundlagen und Diskrete Strukturen](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen.md)
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- [Grundlagen und Diskrete Strukturen - Cheatsheet](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20Cheatsheet.pdf)
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- [Grundlagen und diskrete Strukturen](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen.md)
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- [GudS - Cheatsheet](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20Cheatsheet.pdf)
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- [GudS - Short Paper](Grundlagen%20und%20Diskrete%20Strukturen%20-%20short.pdf)
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- [Neurobiologische Informationsverarbeitung](Neurobiologische%20Informationsverarbeitung.md)
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- [Neuroinformatik](Neuroinformatik.md)
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- [Programmierparadigmen](Programmierparadigmen.md)
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@ -22,12 +23,12 @@ Dieses Repo ist zum Selbststudium und erlernen neuen Wissens gedacht. Kein Inhal
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Wir freuen uns über jeden der mitmacht.
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## Mitmachen
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- Erstelle ein 'issue'. Gehe zuerst die offene 'issues' durch. (Oder Überlege dir welches Fach noch fehlt)
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- Klone das repository oder erstelle einen Fork.
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- Erstelle deinen eigenen feature branch: git checkout -b my-new-feature
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- Committe deine Änderungen: git commit -m 'Add some feature'
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- Push auf deinen Branch: git push origin your-new-feature
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- Erstelle ein pull request damit deine Änderungen in diesem Repository übernommen werden.
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- Erstelle ein 'issue'. Gehe davor die offene 'issues' durch. (Oder überlege dir welches Fach noch fehlt)
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- Klone das repository oder erstelle einen Fork: ```git clone https://github.com/wieerwill/Informatik.git```
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- Erstelle deinen eigenen feature branch: ```git checkout -b my-new-feature```
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- Stelle deine Änderungen bereit: ```git commit -m "Add some feature"``` (in "" kommt dein Kommentar)
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- Lade auf deinen Branch hoch: ```git push origin your-new-feature```
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- Erstelle ein 'pull request' damit deine Änderungen in diesem Repository übernommen werden.
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## Bild- und Textrechte
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Der Inhalt aller Dokumente hier ist die Mitschrift aus besuchten Vorlesungen. Es werden keine Bücher kopiert oder anderweitig Copyright verletzt. Die Verletzung des Copyright oder anderer Rechte Dritte wird mit einem Ausschluss aus dem Repository gehandelt. Sollte Ihnen ein Verstoß auffallen geben Sie uns bitte umgehend bescheid, wir werden jedem Fall nachgehen.
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