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Grundlagen und Diskrete Strukturen - Cheatsheet.tex

@@ -85,16 +85,18 @@ Seien p und q Aussagen, dass sind folgende Sätze auch Aussagen
 - $p \leftrightarrow q$ "genau dann wenn"
 
 \paragraph{Wahrheitswerteverlauf}
-| p | q | $p\wedge q$ | $p\vee q$ | $\neg q$ | $p\rightarrow q$ | $p\leftrightarrow q$ |
-| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
-| f | f | f | f | w | w | w |
-| f | w | f | w | w | w | f |
-| w | f | f | w | f | f | f |
-| w | w | w | w | f | w | w |
+\begin{tabular}{ l | c | c | c | c | c | c }
+    p & q & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $\neg q$ & $p\rightarrow q$ & $p\leftrightarrow q$
+    \hline
+    f & f & f & f & w & w & w
+    f & w & f & w & w & w & f
+    w & f & f & w & f & f & f
+    w & w & w & w & f & w & w
+\end{tabular}
 
 \begin{description}
     \item[Aussagenlogische Variablen] Variable die den Wert w oder f annimmt
-    \item[Aussagenlogische Formel] Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obrigen Muster
+    \item[Aussagenlogische Formel] Verknüpfung aussagenloser Variablen nach obigen Muster
     \item[Belegung] Zuordnung von w/f an jede Variable einer aussagenlogischer Formel
     \item[Wahrheitswerteverlauf] Wahrheitswert der Aussagenformel in Abhängigkeit von der Belegung der Variable
     \item[Tautologie] Formel deren Wahrheitswerteverlauf konstant w ist
@@ -185,20 +187,20 @@ Ist A=B, so heißt R auch binäre Relation auf A
 Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A
 \begin{itemize}
     \item Reflexiv $\leftrightarrow$ xRx $\forall x \in A$
-    \item Symetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$
-    \item Antisymetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$
+    \item symmetrisch $\leftrightarrow xRy \rightarrow yRx$
+    \item Antisymmetrisch $\leftrightarrow xRy \wedge yRx \rightarrow x=y$
     \item Transitiv $\leftrightarrow xRy \wedge yRz \rightarrow xRz$
     \item totale Relation $\leftrightarrow xRy \vee yRx  \forall x,y \in A$
 \end{itemize}
 \begin{itemize}
-    \item R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symetrisch und transitiv
-    \item R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymetrisch und transitiv
+    \item R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symmetrisch und transitiv
+    \item R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
     \item R heißt Totalordnung $\leftrightarrow$ R Ordnung und total
     \item R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv
 \end{itemize}
 
 \paragraph{Äqivalenzrelation}
-Sei A Menge, $C\wp (A)$ Menge von teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt:
+Sei A Menge, $C\wp (A)$ Menge von Teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt:
 1. $UC=A$ d.h. jedes $x\in A$ liegt in (wenigstens) einem $y\in C$
 2. $\emptyset \not \in C$ d.h. jedes $y\in C$ enthält (wenigstens) ein Element von A
 3. $X \cap Y = \emptyset$ f.a. $X\not \in Y$ aus C
@@ -212,7 +214,7 @@ Ein Graph $G=(V,E)$ ist ein Paar bestehend aus einer Menge V und $E\subseteq (x,
 Zu $a,b\in V$ heißt eine Folge $P=x_1,..,x_n$ von paarweise verschiedenen Ebenen mit $a=x_0, b=x_j; x_{j-1},x_i \in E{a*i \in b*j}$ ein a,b-Weg der Länge l oder Weg a nach b. Durch $a\sim b$ gibt es einen a,b-Weg in G, wird eine Äquivalenzrelation auf V definiert, denn:
 \begin{itemize}
     \item "$\sim$ reflexiv": es ist $x\sim x$, denn $P=x$ ist ein x,x-Weg in G
-    \item "$\sim$ symetrisch": aus $x\sim y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y\sim x$
+    \item "$\sim$ symmetrisch": aus $x\sim y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y\sim x$
     \item "$\sim$ transitiv": aus $x\sim y$ und $y\sim x$ folgt, es gibt einen x,y-Weg und einen y,x-Weg
 \end{itemize}
 Die Äquivalenzklassen von $\sim _G$ erzeugen die Zusammenhangskomponenten von G
@@ -229,13 +231,13 @@ Sei also $leq$ eine Ordnung auf X. Seo $A\subseteq X, b\in X$
     \item b untere Schranke von A $\leftrightarrow b\leq c f.a. c\in A$
     \item b obere Schranke von A $\leftrightarrow c\leq b f.a. c\in A$
     \item b kleinste obere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist kleinstes Element von $(b'\in X: \text{b' obere Schranke von A})$ auch Supremum von A: $\lor A = b$
-    \item b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist das größte Element von $(b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} )$ auch Infinium von A; $\land A = b$
+    \item b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow$ b ist das größte Element von $(b'\in X: \text{ b' untere Schranke von A} )$ auch Infinum von A; $\land A = b$
 \end{itemize}
 kleinstes und größtes Element sind jew. eindeutig bestimmt (falls existent)
 
 Satz: Sei X Menge. $\subseteq$ ist Ordnung auf $\wp(X)$. Ist $O\subseteq \wp(X)$, so ist $sup O=\bigcup O$ und $inf O=\bigcap O$
 
-Satz: Die Teilbarkeitsrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Es gibt $sup(a,b)=kgV(a,b)$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und $inf(a,b)=ggT(a,b)$ (größtes gemeinsames Vielfaches)
+Satz: Die Teilbarkeitrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Es gibt $sup(a,b)=kgV(a,b)$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und $inf(a,b)=ggT(a,b)$ (größtes gemeinsames Vielfaches)
 
 \paragraph{Hesse Diagramm}
 Darstellung einer Ordnung $\subseteq$ auf X
@@ -356,7 +358,7 @@ Satz: $m+n=n+m$ f.a. $m,n\in\mathbb{N}$ (Beweis induktiv über m)
 
 Satz: $l+(m+n)=(l+m)+n$ f.a. $l,m,n\in\mathbb{N}$ (Klammern sind neutral bzgl +)
 
-Satz (Streichungsregel): aus $a+n=b+n$ folgt $a=b$ f.a. $a,b,n\in\mathbb{N}$
+Satz (Streichungregel): aus $a+n=b+n$ folgt $a=b$ f.a. $a,b,n\in\mathbb{N}$
 
 \paragraph{Analog: Multiplikation}
 $*: \mathbb{N} x \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ wird definiert durch:
@@ -585,7 +587,7 @@ Satz: Sind $(\Omega, p_1),...,(\Omega, p_m)$ Wahrscheinlichkeitsräume so ist du
 $(\Omega, p)$ heißt Produktraum von $(\Omega_1, p_1),...$.
 
 $(\Omega, p)$ Wahrscheinlichkeitsraum; $A,B\in \Omega$ heißen (stochastisch) unabhängig, falls $p(A\cap B) = p(A)*p(B)$.
-Bespiel: $p(A\cap B) = p({i,j}) =p_1{i}*p_2{j} = p(A)*p(B)$ für das Ereignis "der 1. Würfel zeigt i, der 2. Würfel zeigt j"
+Beispiel: $p(A\cap B) = p({i,j}) =p_1{i}*p_2{j} = p(A)*p(B)$ für das Ereignis "der 1. Würfel zeigt i, der 2. Würfel zeigt j"
 
 \paragraph{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
 $(\Omega, p)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $B\subseteq \Omega$ ("bedingtes Ereignis") mit $p(B)>0$, dann ist $p_B:B\rightarrow [0,1]; p_B(\omega)=\frac{p(\omega)}{p(B)}$ eine Verteilung auf B, denn $\sum p_b(\omega)=\sum \frac{p(\omega)}{p(B)}=\frac{1}{p(B)} \sum p(\omega)= \frac{1}{p(B)} p(B)= 1$.
@@ -597,7 +599,7 @@ Satz (Totale Wahrscheinlichkeit): Seien $A_1, ...,A_k$ paarweise disjunkt, $\big
 
 Satz (Bayer, erweitert): $A_1,...,A_k,B$ wie eben, $p(B)>0$. Für $i\in {1,...,k}$ gilt $p(A_i|B)=\frac{p(B|A_i)*p(A_i)}{\sum p(B|A_j)*p(A_j)}$
 
-Bespiel: In einem Hut liegen drei beidseitig gefärbte Karten. Jemand zieht ("zufällig") eine Karte und leg sie mit einer ("zufälligen") Seite auf den Tisch. Karten rot/rot, rot/blau und blau/blau. Gegeben er sieht rot, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist?
+Beispiel: In einem Hut liegen drei beidseitig gefärbte Karten. Jemand zieht ("zufällig") eine Karte und leg sie mit einer ("zufälligen") Seite auf den Tisch. Karten rot/rot, rot/blau und blau/blau. Gegeben er sieht rot, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist?
 p(unten rot | oben rot) = p(unten rot und oben rot)/p(oben rot) = $\frac{p\binom{r}{r}}{p(\binom{r}{r}\binom{r}{b})}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{2}{3}$
 
 Eine Funktion $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ heißt (reellwertige) Zufallsvariable. Weil $\Omega$ endlich ist, ist auch $X(\Omega)={X(\omega): \omega \in \Omega}\subseteq \mathbb{R}$ endlich. Durch $p_x(x):=p(X=x):=p({\omega \in \Omega: X(\omega)=x})$ wird ein Wahrscheinlichkeitsraum $(X(\Omega),p_x)$ definiert; denn $\sum p_x(x)=p(\Omega)=1$. $p_x$ heißt die von X induzierte Verteilung. $X(\Omega)$ ist meist erheblich kleiner als $\Omega$.
@@ -638,7 +640,7 @@ Für $n\in \mathbb{N}$ sei $n!=n(n-1)(n-2)...*3*2*1=\prod i$; für $n\in\mathbb{
 Satz: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ für jedes $n\in\mathbb{N}$, $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$ für $k\geq 1$ und $k\leq n-1$.
 Zweiter Teil: $[\binom{n-1}{k}]+[\binom{n-1}{k-1}]=\frac{n!}{k!(n-k)!} = [\binom{n}{k}]$. Also stimmen die Rekursionsgleichungen von $\binom{n}{k}$ und $[\binom{n}{k}]$ überein sowie $\binom{n}{k}=[\binom{n}{k}]$. Folglich ist die Anzahl k-elementiger Teilmengen eine n-elementige Menge gleich $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
 
-Seien $X_1,...,X_n$ unabhängige ZVAen, alle $X_i$ seien Bernoulli-Verteilt im Parameter $p[0,1]$, d.h. $p(X_1=1)=p$, $p(X_i=0)=(1-p)$. Dann ist $X_i=X_1+X_2+...+X_n$ ebenfalls reelwertige ZVA. Im Fall $X_i:\Omega\rightarrow {0,1}$ ist $X:\Omega\rightarrow {0,1,...,n}$. Die Verteilung von X ergibt sich wie folgt, für $k\in {0,1,...,n}$: $p(X=k)=\binom{n}{k}*p^k(1-p)^{n-k}$
+Seien $X_1,...,X_n$ unabhängige ZVAen, alle $X_i$ seien Bernoulli-Verteilt im Parameter $p[0,1]$, d.h. $p(X_1=1)=p$, $p(X_i=0)=(1-p)$. Dann ist $X_i=X_1+X_2+...+X_n$ ebenfalls reellwertige ZVA. Im Fall $X_i:\Omega\rightarrow {0,1}$ ist $X:\Omega\rightarrow {0,1,...,n}$. Die Verteilung von X ergibt sich wie folgt, für $k\in {0,1,...,n}$: $p(X=k)=\binom{n}{k}*p^k(1-p)^{n-k}$
 
 Eine ZVA heißt binominalverteilt in den Parametern n und p falls gilt: $p(X=k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$ für $k\in{0,1,...,n}$; schreibe $X\sim L(n,p)$. Sonst ist X Bernoulliverteilt (genau dann wenn $X\sim L(1,p)$).
 
@@ -660,7 +662,7 @@ $E(X)=\sum_{x=0}^M \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}=...=n*\frac
 $Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 =...= n*\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\binom{N-n}{N-1})$
 
 \section{Elementare Graphentheorie}
-$G=(V,E)$ heißt Graph mit Eckenmenge $V(G)=V$ und Kantenmenge $E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}$. Veranschaulichung als Punkte in der Ebene (V) mit "Verknüpfungslinien" von x nach y. Bsp $G=({1,2,3,4},{12,13,14,15,16})$.
+$G=(V,E)$ heißt Graph mit Eckenmenge $V(G)=V$ und Kantenmenge $E(G)=E\subseteq {{x,y}:x\not=y \in V}$. Veranschaulichung als Punkte in der Ebene (V) mit "Verknüpfunglinien" von x nach y. Bsp $G=({1,2,3,4},{12,13,14,15,16})$.
 
 $P=x_0,...,x_e$ Folge pw verschiedener Ecken mit $x_{i-1},...,x_i \in E(k)$ für $i\in{1,...,l}$ heißt ein Weg von $x_0$ nach $x_e$ der Länge l. Für $(a,b)\in V(G)$ heißt $d_G(a,b)=min(l: \text{ es gibt einen a,b-Weg der Länge l} )$ Abstand von a nach b. Falls es keinen a,b-Weg gibt, definiere $d_G(a,b)=+\infty$.
 
@@ -751,7 +753,7 @@ Eliminiere Mehrfachnennungen in der Folge. Gibt es $i\not= j$ mit $x_j=x_i$ so s
 
 G Graph, $k\geq 0$. Eine Funktion $f:V(G)\rightarrow C$ mit $|C|\leq k$ heißt k-Färbung, falls $f(x)\not = f(y)$ für $xy\in E(G)$. G heißt k-färbbar, falls G eine k-Färbung besitzt. Das kleinste $k\geq 0$ für das G k-färbbar ist heißt dramatische Zahl von G, Bezeichnung $X(G)$.
 
-Satz (Tuga): Sei $k\geq 2$ und G ein Graph ohne Kreise eine Lösung $l\equiv 1 mod k$, dann ist G k-faltbar. G 2-färbbar $\leftrightarrow$ G hat keine Kreise ungerader Länge. Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls $(x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A)$ für alle $xy \in E(G)$ gilt. Genau dann ist G bipoartit mit gewissen Klassen A,B wenn G 2-färbbar ist.
+Satz (Tuga): Sei $k\geq 2$ und G ein Graph ohne Kreise eine Lösung $l\equiv 1 mod k$, dann ist G k-faltbar. G 2-färbbar $\leftrightarrow$ G hat keine Kreise ungerader Länge. Ein Graph heißt bipartit mit den Klassen A,B falls $(x\in A \wedge y\in B)\vee (x\in B \wedge y\in A)$ für alle $xy \in E(G)$ gilt. Genau dann ist G bipartit mit gewissen Klassen A,B wenn G 2-färbbar ist.
 
 Satz (Hall): Sei G bipartit mit Klassen A,B. Dann gilt G hat ein Matching von A $\leftrightarrow |N_G(X)|\leq |X|$ für alle $X\subseteq A$.