From 209ec17bd8595bfca616fd9e9dcf9f888fd307d8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Robert Jeutter Date: Tue, 8 Sep 2020 08:17:14 +0200 Subject: [PATCH] added Relation, Induktion & Funktion --- Grundlagen und Diskrete Strukturen.md | 119 +++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 118 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/Grundlagen und Diskrete Strukturen.md b/Grundlagen und Diskrete Strukturen.md index 0999da1..4c0e6d4 100644 --- a/Grundlagen und Diskrete Strukturen.md +++ b/Grundlagen und Diskrete Strukturen.md @@ -153,4 +153,121 @@ Sei $R\in AxA$ binäre Relation auf A - R heißt Äquivalenzrelation $\leftrightarrow$ R reflexiv, symetrisch und transitiv - R heißt Ordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv, antisymetrisch und transitiv - R heißt Totalordnung \$leftrightarrow$ R Ordnung und total -- R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv \ No newline at end of file +- R heißt Quasiordnung $\leftrightarrow$ R reflexiv und transitiv + +## Äqivalenzrelation +Sei A Menge, $C\wp (A)$ Menge von teilmengen von A. C heißt Partition von A, falls gilt: +1. $UC=A$ d.h. jedes $x\in A$ liegt in (wenigstens) einem $y\in C$ +2. $\varemtpy \not in C$ d.h. jedes $y\in C$ enthält (wenigstens) ein Element von A +3. $X \cap Y = \varemtpy$ f.a. $X\not \in Y$ aus C + +Zwei Mengen $X\cap Y = \varemtpy$ heißten disjunkt. +Die Elemente von C heißten Teile, Klassen oder Partitionen. +Satz: Sei ~ Äquivalenzrelation auf A. Für $x\in A$ betrachtet $[x]_{/~}:={y\in A: y~x}$. Dann ist {[x]_{/~}:x\in A}= C_{/~}$ Partition von A. Die Elemente $[x]_{/~}$ von $C_{/~}$ heißen Äquivalenzklassen. + +Wichtiges Bsp: Restklassen modulo m\ +$m\not \in \Z, m \geq 2$; Für $x,y \in \Z$ schreibe $x \equiv y$ mod m ("x konvergent y modulo m") falls $m | (x-y)$. $\equiv (mod m)$ ist eine binäre Relation auf $\Z$ +"$\equiv§ transitiv" aus $x=y mod m$ und $y\equiv z mod m$ folgt $\rightarrow m| x-z$ + +Somit ist $\equiv(mod m)$ eine Äquivalenzrelation. Ihre Äquivalenzklassen heißen Restklassen mod m + +Ein Graph $G=(V,E)$ ist ein Paar bestehend aus einer Menge V und $Eßsubseteq {x,y: x\not = y$ aus V $}$. +Zu $a,b\in V$ heißt eine Folge $P=x_1,..,x_n$ von paarweise verschiedenen Ebenen mit $a=x_0, b=x_j; x_{j-1},x_i \in E{a*i \in b*j}$ ein a,b-Weg der Länge l oder Weg a nach b. Durch a~b gibt es einen a,b-Weg in G, wird eine Äquivalenzrelation auf V definiert, denn: +- "~ reflexiv": es ist $x~x$, denn $P=x$ ist ein x,x-Weg in G +- "~ symetrisch": aus $x~y$ folgt, es gibt einen x,y-Weg $\rightarrow$ es gibt einen y,x-Weg $y~x$ +- "~ transitiv": aus $x~y$ und $y~x$ folgt, es gibt einen x,y-Weg und einen y,x-Weg +Die Äquivalenzklassen von $~_G$ erzeugen die Zusammenhangskomponenten von G + +Satz: Sei C eine Partition von A, dann wird durch $x~_G y \leftrightarrow$ es gibt ein $X\in C$ mit $x,y\in X$ eine Äquivalenzrelation auf A definiert. + +## (Halb) Ordnungen +Sei also $leq$ eine Ordnung auf X. Seo $A\subseteq X, b\in X$ +- b minimal in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(c\leq b \rightarrow c=b f.a. c\in A)$ +- b maximal in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(b\leq c \rightarrow b=c f.a. c\in A)$ +- b kleinstes Element in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(b\leq c f.a. c\in A)$ +- b größtes Element in A $\leftrightarrow b\in A$ und $(c\leq b f.a. c\in A)$ +- b untere Schranke von A $\leftrightarrow b\leq c f.a. c\in A$ +- b obere Schranke von A $\leftrightarrow c\leq b f.a. c\in A$ +- b kleinste obere Schranke von A $\leftrightarrow b ist kleinstes Element von ${b'\in X:$ b' obere Schranke von A $}$ auch Supremum von A; $\lor A = b$ +- b größte untere Schranke von A $\leftrightarrow b ist das größte Element von ${b'\in X:$ b' untere Schranke von A $}$ auch Infinium von A; $\land A = b$ +kleinstes und größtes Element sind jew. eindeutig bestimmt (falls existent) + +Satz: Sei X Menge. $\subseteq$ ist Ordnung auf $\wp(X)$. Ist $O\subseteq \wp(X)$, so ist $sup O=\bigcup O$ und $inf O=\bigcap O$ + +Satz: Die Teilbarkeitsrelation | ist Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\N$. Es gibt $sup(a,b)=kgV(a,b)$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und $inf(a,b)=ggT(a,b)$ (größtes gemeinsames Vielfaches) + +## Hesse Diagramm +Darstellung einer Ordnung $\subseteq$ auf X +1. Im Fall $x\subseteq y$ zeichne x "unterhalb" von y in die Ebene +2. Gilt $x\subseteq y (x\not = y)$ und folgt aus $x \subseteq z \subseteq y$ stets $x=z$ oder $y=z$ so wird x mit y "verbunden" + +## Zoonsche Lemma +Zu jeder Menge und für jede Ordnung $\leq$ auf X mit der Eigenschaft, dass jede nicht-leere Kette nach der beschränkt ist, gibt es ein maximales Element. + +## Wohlordnungssatz +Jede Menge lässt sich durch eine Ordnung $\subseteq$ so ordnen, dass jede nichtleere Teilmenge von X darin ein kleinstes Element ist + +# Induktion +X ist eine Menge, $X:=X\vee {X}$\ +M Menge heißt induktiv $:\leftrightarrow \varempty \in M \wedge \forall X \in M$ $X^+ \in M$ +Ist O eine Menge von induktiven Mengen, $O\pm O$ dann ist auch $\bigcap O$ induktiv. Insbesondere ist der Durchschnitt zweier induktiver Mengen induktiv. Es gibt eine induktive Menge M: $M =\bigcap {A \in \wp(M): A induktiv}$. +Sei M' irgendeine (andere) induktive Menge $\rightarrow M \cap M'$ ist induktive Teilmenge von M. $\N_M$ ist der Durchschnitt über alle induktiven Teilmengen von M $\N_M \subseteq M\cap M' \subseteq M'$. Folglich ist $\N_m$ Teilmenge jeder induktiven Menge. + +## Satz I (Induktion I) +Sei p(n) ein Prädikat über $\N$. Gelte p(0) und $p(n)\rightarrow p(n^+)$ f.a. $n\in \N$ dann ist p(n) wahr f.a. $n\in N$. Schreibe $x=y:\leftrightarrow x\in y \vee x=y$ + +## Satz II (Induktion II) +Sei p(n) ein Prädikat über $\N$, gelte ($\forall x < n: p(x9))\rightarrow p(n)$ f.a. $n\in \N$. Damit ist p(n) wahr für alle $n\in \N$. + +# Funktionen +Seien A,B Mengen: Eine Relation $f\subseteq A x B$ heißt Funktion. A nach B ("$f:A\rightarrow B$") falls es zu jedem $x\in A$ genau ein $y\in B$ mit $(x,y)\in f$ gibt. Dieses y wird mit $f(x) bezeichnet. + +Satz: $f:A\rightarrow B, g:A\rightarrow B$; dann gilt $f=g \leftrightarrow f(x)=g(x)$. Sei $f:A\rightarrow B$ Funktion +1. f heißt injektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat höchstens ein Urbild +2. f heißt subjektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat wenigstens ein Urbild +3. f heißt bijektiv $\leftrightarrow$ jedes y aus B hat genau ein Urbild + +Ist $f:A\rightarrow B$ bijektive Funktion, dann ist auch $f^{-1}\subseteq BxA$ bijektiv von B nach A, die Umkehrfunktion von f. +Man nennt f dann Injektion, Surjektion bzw Bijektion +- f injektiv $\leftrightarrow (f(x)=f(y)\rightarrow x=y)$ f.a. $x,y\in A$ oder $(x\not = y \rightarrow f(x)\not = f(y))$ +- f surjektiv $\leftrightarrow$ Zu jedem $x\in B$ existiert ein $x\in A$ mit $f(x)=y$ +- f bijektiv $\leftrightarrow$ f injektiv und surjektiv + +Sind $f:A\rightarrow B$ und $g:B\rightarrow C$ Funktionen, so wird durch $(g \circ f)(x):=g(f(x))$ eine Funktion $g \circ f: A \rightarrow C$ definiert, die sog. Konkatenation/Hintereinanderschaltung/Verkettung/Verkopplung von f und g (gesprochen "g nach f"). + +Satz: $f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$ sind Funktionen. Sind f,g bijektiv, so ist auch $g \circ f: A\rightarrow C$ bijektiv + +Satz: ist $f:A\rightarrow B$ bijektiv, so ist $f^{-1}$ eine Funktion B nach A. Mengen A,B, heißen gleichmächtig ($|A|=|B| \equiv A\cong B$) falls Bijektion von A nach B. $\cong$ ist auf jeder Menge von Mengen eine Äquivalenzrelation +- "$\cong$ reflexiv": $A\cong A$, denn $f:A\rightarrow A, f(x)=X$, ist Bijektion von A nach A +- "$\cong$ symetrisch": Aus $A\cong B$ folgt Bijektion von A nach B $\rightarrow B\cong A$ +- "$\cong$ transitiv": Aus $A\cong B$ und $B\cong C$ folgt $A\cong C$ + +$|A|=|A|:|A|$ ist die Kordinalität von A, d.h. die kleisnte zu A gleichmächtige Ordinalzahö. Eine Ordinalzahl ist eine e-transitive Menge von e-transitiven Mengen. Eine Menge X heißt e-transitiv, wenn aus $a\in b$ und $b\in c$ stets $a\in c$ folgt. +Sei $A:=\N$ und $B={0,2,4,...}={n\in \N: 2|n}$, dann sind A und B gleichmächtig, denn $f:A\rightarrow B, f(x)=2x$ ist Bijektion von A nach B. +Eine Menge A heißt endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl ist; sonst heißt A unendlich. +Eine Menge A heißt Deckend-unendlich, falls es eine Injektion $f:A\rightarrow B$ gibt die nicht surjektiv ist. + +Satz: A unendlich $\leftrightarrow$ A deckend-unendlich +A,B sind Mengen. A heißt höchstens so mächtig wie B, falls es eine Injektion von A nach B gibt. $|A|\leq |B|$ bzw $A\preceq B$. $\preceq$ ist Quasiordnung auf jeder Menge von Mengen. +- "\preceq$ reflexiv": Injektion von A nach A +- "\preceq$ transitiv": $A\preceq B$ und $B\preceq C$ folgt Injektion $f:A\rightarrow B$ und $g:B\rightarrow C$. Verkopplung $g \circ f \rightarrow A \preceq C$ + +Satz (Vergleichbarkeitssatz): +Für zwei Mengen A,B gilt $|A|\leq |B|$ oder $|B| \leq |A|$. Eine Relation f von A nach B heißt partielle Bijektion (oder Matching), falls es Teilmengen $A'\subseteq A$ und $B'\subseteq B$ gibt sodass f eine Bijektion von A' nach B' gibt. + +Sei M die Menge aller Matchings von A nach B und wie jede Menge durch $\subseteq$ geordnet. Sei $K\subseteq M$ eine Kette von Matchings. K besitzt eine obere Schranke ($\bigcup K$) in M. Seien $(x,y);(x',y')$ zwei Zuordnungspfeile aus $\bigcup K$, zeige $x\not = x'$ und $y\not = y'$ dann folgt Matching. +Jede Kette von Matchings benutzt eine obere Schranke, die ebenfalls ein Matching ist $\rightarrow$ es gibt ein maximales Matching von A nach B, etwa h. Im Fall ($x\in A, y\in B$ mit $(x,y)\in h$) ist h eine Injektion von A nach B, d.h. $|A| \subseteq |B|$ andernfalls $y\in B, x\in A$ mit $(x,y)}\in h$ ist $h^{-1}$ eine Injektion von B nach A, d.h. $|B| \subseteq |A|$. + +## Satz - Cantor/Schröder/Bernstein +Für zwei Mengen A,B gilt: Aus $|A|\subseteq |B|$ und $|B| \subseteq |A|$ folgt $|A| = |B|$. + +Die Komponenten von f und g sind: +- endliche Kreise +- einseitig unendliche Wege +- beidseitig unendliche Wege + +## Satz Cantor +Für jede Menge X gilt: $|X|\leq \wp(X)$ und $|X|\not = |\wp (X)|$. Z.B. ist $|\N|<|\R|$; zu $|\N|$ gleichmächtige Mengen nennt man abzählbar; unendliche nicht-abzählbare Mengen nennt man überzählbar. + +## Kontinuitätshypothese +Aus $|\N|\leq |A| \leq |\R|$ folgt $|A|=|\N|$ oder $|A|=|\R|$ (keine Zwischengrößen) \ No newline at end of file