Lösungen zu Aufgabe 8

Kryptographie - Prüfungsvorbereitung.tex

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     \part Beschreibe eine Strategie für RSA-basierte Systeme, mit der verhindert werden kann, dass zwei identische Klartextblöcke bei Verwendung desselben Schlüsselpaars gleich verschlüsselt werden.
     \begin{solution}
       Verwendung von Prä- und Postblöcken, die vor und nach dem zu verschlüsselnden Textblock angehängt werden mit randomisiertem (Zufallsbits) oder zeitlich abhängigem (Zeitstempel) Inhalt.
+
+      Es ist Empfohlen, beim Arbeiten mit RSA den Klartext $x$ durch das Anhängen eines nicht ganz kurzen Zufallsstrings zu randomisieren. Wenn dieser angehängte Zufallsstring die gleiche Länge wie $x$ hat, ist der Chiffretext genauso lang wie bei ElGamal.
     \end{solution}
   \end{parts}
 
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     \part Um die Schlüssel festzulegen, wählt Bob zufällig eine geheime Zahl $b\in...$. Der öffentliche Schlüssel ist ... mit $B=$...
     \begin{solution}
+      Es wird eine zyklische Gruppe $(G,\circ,e)$ mit einem erzeugenden Element $g$ benötigt, sowie $N=|G|$, so dass das zugehörige DH-Problem schwer zu lösen ist. Ein Element $b$ wird zufällig aus $\{2 ,...,|G|-2\}$ gewählt, und es wird mittels schneller Exponentiation $B=g^b$ berechnet. Der öffentliche Schlüssel ist $k_{pub}= (G,g,B)$, der geheime Schlüssel ist $b$ bzw. $k_{priv}=(G,g,b)$.
     \end{solution}
 
     \part Verschlüsselung von Klartextblock $x\in$... mit öffentlichem Schlüssel: ...
     \begin{solution}
+      Wir nehmen an, dass die Menge der möglichen Botschaften (Binärstrings) eine Teilmenge von $G$ ist. Um eine Botschaft $x\in G$ zu verschlüsseln, wählt Alice eine Zufallszahl $a$ aus $\{2,...,|G|-2\}$ und berechnet $A=g^a$. Weiter berechnet sie $y:=B^a \circ x$. Der Chiffretext ist $(A,y)$.
     \end{solution}
 
     \part Entschlüsselung von Chiffretext $... \in ... $ mithilfe von $b$: ...
     \begin{solution}
+      Bob kennt die Gruppe $G$ und $g$, sowie $A$ und $y$ (von Alice) sowie seinen geheimen Schlüssel $b$. Er berechnet $A^b= (g^a)^b=k$. Dann berechnet er das Gruppenelement $z=k^{-1}\circ y$, mit Hilfe der effizienten Invertierung und Gruppenoperation in $G$.
     \end{solution}
 
     \part Gebe das Diffie-Hellman-Problem (DH-Problem) an:
-    Zu Input, ..., ... finde ... .
+    Zu Input ..., ... finde ... .
     \begin{solution}
+      Die Idee dabei ist, dass $k=g^{ab}$ ist, wo nur Alice $a$ kennt und nur Bob $b$. Über den öffentlichen Kanal laufen die Gruppenelemente $g^a$ und $g^b$. Eva hat also das Problem, aus $g^a$ und $g^b$ den Wert $g^{ab}$ zu berechnen.
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+    Zu Input $k=g^{ab}$, wobei nur Alice $a$ kennt und nur Bob $b$ kennt, finde $g^a$ und $g^b$.
     \end{solution}
 
     \part Zur Sicherheit des ElGamal-Kryptosystems lässt sich feststellen: Eve kann alle bzgl. $G$ und $g$ verschlüsselten Nachrichten effizient entschlüsseln genau dann wenn ...
     \begin{solution}
+      \begin{enumerate}
+          \item Eva kann alle mit dem ElGamal-Verfahren bzgl. $G$ und $g$ verschlüsselten Nachrichten effizient entschlüsseln, also aus $B$, $A$ und $y$ die Nachricht $x$ berechnen, die zum Chiffretext $(A,y)$ geführt hat.
+          \item Eva kann das DH-Problem für $G$ lösen.
+      \end{enumerate}
+
+      Wenn Eva diskrete Logarithmen bezüglich $G$ und $g$ berechnen kann, gelten natürlich 1. und 2. Wir beweisen die Äquivalenz.
+      \begin{itemize}
+          \item ,,1.$\Rightarrow$2.'': Eva hat $B=g^b$ und $A=g^a$ vorliegen und möchte $k=g^{ab}$ bestimmen. Sie wendet ihr Entschlüsselungsverfahren auf $B$, $A$ und $y=1$ an. Es ergibt sich ein Wert $x$ mit $g^{ab}\circ x=k\circ x=y=1$. Es gilt also $x=k^{-1}$, und Eva kann $k$ durch Invertierung von $x$ in $G$ berechnen.
+          \item ,,2.$\Rightarrow$1.'': Eva hat $B=g^b$,$A=g^a$,$y=g^{ab}\circ x$ vorliegen. Weil sie das DH-Problem lösen kann, kann sie $k=g^{ab}$ berechnen und damit natürlich $x=k^{-1}\circ y$ bestimmen.
+      \end{itemize}
     \end{solution}
 
     \part Wieso verwendet man in der Praxis lieber Systeme, die auf elliptischen Kurven basieren, als solche, die auf diskreten Logarithmen beruhen?
     \begin{solution}
+      \begin{itemize}
+        \item wesentlich kleinere Schlüsselmenge bei deutlich höherer Komplexität
+        \item Bisher kein Verfahren zum ,,zurück-rechnen'' vom Öffentlichen zum Privaten Schlüssel bekannt
+        \item nur durch Brute Force möglich zu knacken
+        \item geringer Aufwand bei hoher Sicherheit
+      \end{itemize}
     \end{solution}
   \end{parts}