Aufgabe 8

Stochastik - Übungsklausur.tex

@@ -4,6 +4,9 @@
 \usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.75in, right=0.75in]{geometry}
 \usepackage{color,graphicx,overpic}
 \usepackage{hyperref}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.8}
+\usepgfplotslibrary{statistics}
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 \pagestyle{empty}
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@@ -188,13 +191,15 @@ Berechnungen im Rahmen von Bankgeschäften ergeben oft Ergebnisse mit gebrochene
 
     $P(|X-\mu|)\geq k*\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \Rightarrow P(|X|\geq 16,26*0,289)\leq \frac{1}{16,26^2} = P(|X|\geq 4,7) \leq 0.061$
 
-    \dots
+    \dots ?
     \\\hline
 \end{tabular}
 
 \paragraph{d)} Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert die Bank mindestens einen Euro (100 Cent)? Nutzen Sie den zentralen Grenzwertsatz, um diese Wahrscheinlichkeit geeignet zu approximieren. Runden Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe der unten angegebenen Tabelle auf volle 10\%. \textbf{(3 Punkte)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
+    Grenzwertsatz $$lim_{n\rightarrow \infty} P(\sqrt{n} * \frac{\bar{X}_n -\mu}{\sigma}\leq x)=\phi (x)$$
+
     \\\hline
 \end{tabular}
 
@@ -251,7 +256,7 @@ Gegeben seien die unabhängigen Zufallsvariablen $X_1,X_2,...,X_n$ mit den Verte
     \\\hline
 \end{tabular}
 
-Gegeben sei $f:R\rightarrow R$ mit $f(x) =a*\sin(x)·1_{(0,\pi)}(x)$, wobei a ein reeller Parameter ist.
+Gegeben sei $f:R\rightarrow R$ mit $f(x) =a*\sin(x)*1_{(0,\pi)}(x)$, wobei a ein reeller Parameter ist.
 \paragraph{b)} Bestimmen Sie a so, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. \textbf{(1 Punkt)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
@@ -279,32 +284,93 @@ Sei nunXeine Zufallsvariable, die die Wahrscheinlichkeitsdichtefbesitzt.
 
 \section{Aufgabe 8: Deskriptive Statistik}
 Aus einer Charge von Fäden werden 5 Stück entnommen, um sie auf Reißfestigkeit zu testen. Notiert werden die erreichten Dehnungslängen $L_i,i= 1,...,5$ in cm zum Zeitpunkt des Reißens. Die Ergebnisse lauten:
+\begin{center}
     \begin{tabular}{c | c | c | c | c}
-    $L_1$ & $L_2$ & $L_3$ & $L_4$ & $L_5$ \\
+        $L_1$ & $L_2$ & $L_3$ & $L_4$ & $L_5$ \\\hline
         4     & 11    & 1     & 6     & 3
     \end{tabular}
+\end{center}
 
 \paragraph{a)} Befinden sich diese Daten auf einer Verhältnisskala? \textbf{(1 Punkt)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
+    Die Daten befinden sich auf der Ordinal-Skala, da diese benannt und in einer natürlichen Ordnung existieren.
     \\\hline
 \end{tabular}
 
 \paragraph{b)} Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion zu diesem Datensatz. \textbf{(1 Punkt)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
+    $$F(x_i)=\sum_{j=1}^i \frac{n_j}{n}$$
+    Bsp für 6: $$F(6) = \sum_{j=1}^6 \frac{n_j}{n} = \frac{1}{5}+ \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}+ \frac{6}{5} = 2,8$$
+    
+    \vspace{.5cm}
+    \begin{tikzpicture}[
+        dot/.style = {
+                draw,
+                fill = white,
+                circle,
+                inner sep = 0pt,
+                minimum size = 4pt
+            }
+    ]
+    \draw[thick,->] (0,0) -- (13,0) node[anchor=south west] {X};
+    \draw[thick,->] (0,0) -- (0,6) node[anchor=south west] {Y};
+    \foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
+    \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};
+    \foreach \y in {0,1,2,3,4,5}
+    \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
+
+        \draw[gray, thick] (1,1) -- (3,1);
+        \draw[gray, thick] (3,2) -- (4,2);
+        \draw[gray, thick] (4,3) -- (6,3);
+        \draw[gray, thick] (6,4) -- (11,4);
+        \draw[gray, thick] (11,5) -- (12,5);
+        \node at (1,1) [circle,fill=black] {};
+        \node at (3,2) [circle,fill=black] {};
+        \node at (4,3) [circle,fill=black] {};
+        \node at (6,4) [circle,fill=black] {};
+        \node at (11,5) [circle,fill=black] {};
+        
+      \end{tikzpicture} 
+
     \\\hline
 \end{tabular}
 
 \paragraph{c)} Bestimmen Sie den Mittelwert, den Median, die Quartile und den Interquartilsabstand der Daten. Wie erklärt sich der Unterschied zwischen Median und Mittelwert? \textbf{(4 Punkte)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
+    Mittelwert: $$x_{mit}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 5$$
+
+    Median: $x_{med} \geq 50\% \text{ aller Werte } \Rightarrow x_{med}= 4$
+
+    Quartile: $$Q_{0,75} = 1,75*x_{mit} = 8,75;\quad Q_{0,25} = 0,25*x_{mit}= 1,25$$
+    
+    Interquartilsabstand: $IQS=Q_{0,75} - Q_{0,25} = 8,75 - 1,25 =  7,5$
     \\\hline
 \end{tabular}
 
 \paragraph{d)} Skizzieren Sie einen Boxplot zu diesem Datensatz. \textbf{(3 Punkte)}\\
 \begin{tabular}{| p{17cm} |}
     \hline
+    \vspace{.5cm}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}
+          [
+          ytick={1,2,3},
+          yticklabels={Index 0, Index 1, Index 2},
+          ]
+          \addplot+[
+          boxplot prepared={
+            median=4,
+            upper quartile=8.75,
+            lower quartile=1.25,
+            upper whisker=11,
+            lower whisker=1
+          },
+          ] coordinates {};
+        \end{axis}
+      \end{tikzpicture}
     \\\hline
 \end{tabular}