Aristoteles (384-322 v.Chr.) untersuchte das Wesen der Argumentation und des logischen Schließens mit dem Ziel, korrekte von inkorrekten Argumenten zu unterscheiden.
Verschiedene Werke, u.a. Analytica priora, Analytica posteriora.
Aristoteles nennt die logischen Schlußfolgerungen Syllogismen (griechisch: "Zusammenrechnung").
Ein Syllogismus ist eine Aussage, in der bestimmte Dinge [die Prämissen] behauptet werden und in der etwas anderes [die Konsequenz], unumgänglich aus dem Behaupteten folgt. Mit dem letzten Satz meine ich, dass die Prämissen die Konsequenz zum Resultat haben, und damit meine ich, dass keine weitere Prämisse erforderlich ist, um die Konsequenz unumgänglich zu machen.
#### Beispiele
```
Wenn alle Menschen sterblich sind und
Sokrates ein Mensch ist,
dann ist Sokrates sterblich.
```
```
Wenn eine Zahl gerade und größer als zwei ist,
dann ist sie keine Primzahl.
```
```
Wenn die Leitzinsen hoch sind,
dann sind die Börsianer unzufrieden.
```
Aristoteles identifizierte einige zulässige Syllogismen, die Scholastiker fügten weitere hinzu:
(Barbara)
```
Alle Dackel sind Hunde Alle P sind M
Alle Hunde sind Tiere Alle M sind S
Dann sind alle Dackel Tiere Alle P sind S
```
(Cesare)
```
Keine Blume ist ein Tier Kein P ist M
Alle Hunde sind Tiere Alle S sind M
Dann ist keine Blume ein Hund Kein P ist S
```
(Darapti)
```
Alle Delfine leben im Meer Alle M sind P
Alle Delfine sind Säugetiere Alle M sind S
Dann leben einige Säugetiere im Meer Einige S sind P
```
### Kalküle
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) wollte korrekte von inkorrekten Argumentationsketten unterscheiden. Hierzu sollte ein Kalkül entwickelt werden, in dem alle korrekten Argumentationsketten ermöglicht sind (und keine inkorrekten).
David Hilbert (1862-1943) entwickelte solche Kalküle.
Diese "Hilbertkalküle" sind sehr verschieden von üblichen Argumentationsmustern.
Gerhard Gentzen (1909-1945) entwickelte Kalküle des "natürlichen Schließens", die übliche Argumentationsmuster formalisieren.
### Die Aussagenlogik
George Boole (1815 - 1864) entwickelte einen Kalkül zum Rechnen mit atomare Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können.
Verknüpfung durch Operatoren(und, oder, nicht, wenn-dann... ).
### Die Prädikatenlogik (Ende des 19. Jahrhunderts)
Gottlob Frege (1848-1925), Giuseppe Peano (1858-1932) und Bertrand Russell (1872-1970)entwickelten die Logik zur Grundlage der Mathematik, als formale Basis für die Vermeidung von Widersprüchen.
Entwicklung der Prädikatenlogik, die erlaubt:
- Beziehungen zwischen "Objekten" zu beschreiben
- existentielle Aussagen zu treffen: "es gibt ein x, so dass... "
- universelle Aussage zu treffen: "für jedes x gilt, dass... "
## Logik in der Informatik
Claude Shannon (1916 - 2001) benutzt die Aussagenlogik 1937, um elektromechanische Schaltkreise zu beschreiben und zu optimieren.
Allen Newell (1927-1992), Herbert Simon (1916-2001) und Alan Robinson (1930-2016) entwickelten 1950-1960 die ersten Systeme für die Automatisierung des logischen Schließens als Werkzeug der Künstlichen Intelligenz.
- Schaltkreisentwurf: Schaltkreise lassen sich durch logische Formeln darstellen -> Entwurf und Optimierung von Schaltungen
- Modellierung und Spezifikation: Eindeutige Beschreibung von komplexen Systemen
- Verifikation: Beweisen, dass ein Programm das gewünschte Verhalten zeigt
- Datenbanken: Formulierung von Anfragen an Datenbanken -> Abfragesprache SQL (Structured Query Language)
- (klassische) Künstliche Intelligenz:
- Planung
- Mensch-Maschine Kommunikation
- Theorembeweiser: Der Computer beweist mathematische Sätze -> automatischer Beweis von wichtigen Sätzen im Bereich der Booleschen Algebren
- Logische Programmiersprachen
Außerdem: Logik ist ein Paradebeispiel für Syntax und formale Semantik
Edsger W. Dijkstra (1920-2002): Informatik = VLSAL (Very large scale application of logics)
Die Logik
- versucht, gültige Argumentationen von ungültigen zu unterscheiden,
- hat Anwendungen in der Informatik,
- formalisiert die zu untersuchenden Aussagen
### Probleme mit natürlicher Sprache
1. Problem: Zuordnung von Wahrheitswerten zu natürlichsprachigen Aussagen ist problematisch.
- Beispiele:
- Ich habe nur ein bißchen getrunken.
- Sie hat sich in Rauch aufgelöst.
- Das gibt es doch nicht!
- Rache ist süß.
2. Problem: Natürliche Sprache ist oft schwer verständlich.
- Beispiel: Auszug aus der "Analytica Priora" von Aristoteles
- Die Aussage: Wenn der Mittelbegriff sich universell auf Ober- oder Untersatz bezieht, muss ein bestimmter negativer Syllogismus resultieren, immer wenn der Mittelbegriff sich universell auf den Obersatz bezieht, sei es positiv oder negativ, und besonders wenn er sich auf den Untersatz bezieht und umgekehrt zur universellen Aussage.
- Der Beweis: Denn wenn M zu keinem N gehört, aber zu einem O, ist es notwendig, dass N zu einem O nicht gehört. Denn da die negative Aussage umsetzbar ist, wird N zu keinem M gehören: Aber es war erlaubt, dass M zu einem O gehört: Deshalb wird N zu einem O nicht gehören: Denn das Ergebnis wird durch die erste Figur erreicht. Noch einmal: Wenn M zu allen N gehört, aber nicht zu einem O, ist es notwendig, dass N nichtzu einem O gehört: Denn wenn N zu allen O gehört und M auch alle N-Eigenschaften zugeschrieben werden, muss M zu allen O gehören: Aber wir haben angenommen, dass M zu einem O nicht gehört. Und wenn M zu allen N gehört, aber nicht zu allen O, können wir folgern, dass N nicht zu allen O gehört: Der Beweis ist der gleiche wie der obige. Aber wenn M alle O-Eigenschaften zugeschrieben werden, aber nicht alle N-Eigenschaften, wird es keinen Syllogismus geben.
3. Problem:Natürliche Sprache ist mehrdeutig.
- Beispiel: "Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr."
- (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr)
- ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr)
- ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr))
- (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr))
- (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr)))
4. Problem:Natürliche Sprache hängt von Kontext ab.
```
Die Beatles sind Musiker
Paul McCartney ist ein Beatle
Paul McCartney ist ein Musiker
```
```
Die Beatles sind vier
Paul McCartney ist ein Beatle
Paul McCartney ist vier
```
# Kapitel 1: Aussagenlogik
Beispiel
Ein Gerät besteht aus einem Bauteil A, einem Bauteil B und einem roten Licht. Folgendes ist bekannt:
1. Bauteil A oder Bauteil B (oder beide) sind kaputt.
2. Wenn Bauteil A kaputt ist, dann ist auch Bauteil B kaputt.
3. Wenn Bauteil B kaputt ist und das rote Licht leuchtet, dann ist Bauteil A nicht kaputt.
4. Das rote Licht leuchtet.
Zur Formalisierung verwenden wir folgende Abkürzungen:
- RL (rotes Licht leuchtet),
- AK (Bauteil A kaputt),
- BK (Bauteil B kaputt),
- $\vee$ (oder),
- $\rightarrow$ (wenn, dann),
- $\wedge$ (und) und
- $\lnot$ (nicht).
Damit können wir unser Wissen kompakter hinschreiben:
1. $AK \vee BK$
2. $AK \rightarrow BK$
3. $(BK \wedge RL)\rightarrow \lnot AK$
4. $RL$
Aus den vier Aussagen lassen sich weitere Aussagen neue Aussagen bilden
5. Falls $AK$ gilt, so folgt aus $AK\rightarrow BK$, dass $BK$ gilt.
6. Falls $BK$ gilt, so gilt natürlich $BK$.
7. Da $AK \vee BK$ gilt, folgt aus (5) und (6), dass $BK$ in jedem Fall gilt.
8. Es gilt auch $RL$.
9. Also gilt $BK\wedge RL$ (aus (7) und (8)).
10. Es gilt auch $(BK \wedge RL)\rightarrow\lnot AK$.
11. Also gilt $\lnot AK$ (aus (9) und (10)).
Damit sind wir überzeugt, dass das Bauteil A heil ist.
Den Beweis, dass das Teil A heil ist, werden wir als "Beweisbaum" formalisieren:
```
[AK] AK→BK
AK∨BK BK [BK]
BK RL
BK∧RL (BK∧RL)→ ¬AK
¬AK
```
In der Aussagenlogik gehen wir von "Aussagen" aus, denen wir (zumindest prinzipiell) Wahrheitswerte zuordnen können.
## Beispiele
- Die Summe von 3 und 4 ist 7.
- Jana reagierte aggressiv auf Martins Behauptungen.
- Jede gerade natürliche Zahl>2 ist Summe zweier Primzahlen.
- Alle Marsmenschen mögen Pizza mit Pepperoni.
- Albert Camus était un écrivain français.
- In theory, practically everything is possible.
Für diese Aussagen verwenden wir dieatomaren Formeln $p,q,r$ bzw. $p_0,p_1,...$
Die Aussagen werden durch "Operatoren" verbunden. Beispiele
- ... und...
- ... oder...
- nicht...
- wenn... dann...
- entweder... oder... , aber nicht beide.
- mehr als die Hälfte der Aussagen ... gilt.
Für solche zusammengesetzten Aussagen verwenden wir $\varphi,\psi$ usw.
Durch die Wahl der erlaubten Operatoren erhält man unterschiedliche "Logiken".
Da der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage nur vom Wahrheitswert der Teilaussagen abhängen soll, sind Operatoren wie "weil" oder "obwohl" nicht zulässig.
## Syntax der Aussagenlogik
Eine atomare Formel hat die Form $p_i$ (wobei $i\in\mathbb{N}=\{0,1,...\}$).
Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert:
1. Alle atomaren Formeln und $\bot$ sind Formeln.
2. Falls $\varphi$ und $\psi$ Formeln sind, sind auch $(\varphi\wedge\psi),(\varphi\wedge\psi)$($\varphi \rightarrow\psi$)und $\lnot\varphi$Formeln.
3. Nichts ist Formel, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.
Es gilt also z.B.: $(\alpha\leftrightarrow\beta\vee\lnot\gamma\rightarrow\sigma\wedge\lnot\eta) = (\alpha\leftrightarrow ((\beta\vee\lnot\gamma)\rightarrow(\sigma\wedge\lnot\eta)))$
