Da der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage nur vom Wahrheitswert der Teilaussagen abhängen soll, sind Operatoren wie ``weil'' oder ``obwohl'' nicht zulässig.
\item Alle atomaren Formeln und $\bot$ sind Formeln.
\item Falls $\varphi$ und $\psi$ Formeln sind, sind auch $(\varphi\wedge\psi),(\varphi\wedge\psi)$($\varphi\rightarrow\psi$) und $\lnot\varphi$Formeln.
\item Nichts ist Formel, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.
Ein (mathematischer) Beweis zeigt, wie die Behauptung aus den Voraussetzungen folgt.
Analog zeigt ein ``Beweisbaum'' (=``Herleitung'' = ``Deduktion''), wie eine Formel der Aussagenlogik aus Voraussetzungen (ebenfalls Formeln der Aussagenlogik) folgt.
Ist D eine Deduktion von $\varphi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$ und ist E eine Deduktion von $\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\varphi\wedge\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
Ist D eine Deduktion von $\varphi\wedge\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$, so ergeben sich die folgenden Deduktionen von $\varphi$ bzw. von $\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
Ist D eine Deduktion von $\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma\cup\{\varphi\}$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\varphi\rightarrow\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\psi$}
\RightLabel(\scriptsize ($\rightarrow I)$)
\UnaryInfC{$\varphi\rightarrow\psi$}
\end{prooftree}
\subsubsection{Implikationselimination oder modus ponens}
Ist D eine Deduktion von $\varphi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$ und ist E eine Deduktion von $\varphi\rightarrow\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\varphi$}
\AxiomC{$\varphi\rightarrow\psi$}
\RightLabel(\scriptsize ($\rightarrow E)$)
\BinaryInfC{$\varphi$}
\end{prooftree}
\subsubsection{Disjunktionselimination}
Ist D eine Deduktion von $\varphi\vee\psi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$, ist E eine Deduktion von $\sigma$ mit Hypothesen aus $\Gamma\cup\{\varphi\}$und ist F eine Deduktion von $\sigma$ mit Hypothesen aus $\Gamma\cup\{\psi\}$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\sigma$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\varphi\vee\psi$}
\AxiomC{$\sigma$}
\AxiomC{$\sigma$}
\RightLabel(\scriptsize ($\vee E)$)
\TrinaryInfC{$\sigma$}
\end{prooftree}
\subsubsection{Negationseinführung}
Ist D eine Deduktion von $\bot$ mit Hypothesen aus $\Gamma\cup\{\varphi\}$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\lnot\varphi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
\begin{prooftree}
\AxiomC{$\bot$}
\RightLabel(\scriptsize ($\lnot I)$)
\UnaryInfC{$\varphi$}
\end{prooftree}
\subsection{Negationselimination}
Ist D eine Deduktion von $\lnot\varphi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$ und ist E eine Deduktion von $\varphi$ mit Hypothesen aus $\gamma$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\bot$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
Ist D eine Deduktion von $\bot$ mit Hypothesen aus $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$, so ergibt sich die folgende Deduktion von $\varphi$ mit Hypothesen aus $\Gamma$:
\note{Definition}{Für eine Formelmenge $\Gamma$ und eine Formel $\varphi$ schreiben wir $\Gamma\Vdash\varphi$ wenn es eine Deduktion gibt mit Hypothesen aus $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Wir sagen "$\varphi$ ist eine syntaktische Folgerung von $\Gamma$".
$\Gamma\Vdash\varphi$ sagt (zunächst) nichts über den Inhalt der Formeln in $\Gamma\cup\{\varphi\}$ aus, sondern nur über die Tatsache, dass $\varphi$ mithilfe des natürlichen Schließens aus den Formeln aus $\Gamma$ hergeleitet werden kann.
\item Fuzzy-Logik $F=[0,1]$: Wahrheitswerte sind "Grad der Überzeugtheit"
\item unendliche Boolesche Algebra $B_R$= Menge der Teilmengen von $\mathbb{R}$; $A\subseteq\mathbb{R}$ ist "Menge der Menschen, die Aussage für wahr halten"
\item Heyting-Algebra $H_R$= Menge der offenen Teilmengen von $\mathbb{R}$
\item Erinnerung: $A\subseteq\mathbb{R}$ offen, wenn $\forall a\in A\exists\epsilon >0:(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq A$, d.h., wenn $A$ abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen $(x,y)$ ist.
\note{Definition}{Sei W eine Menge und $R\subseteq W\times W$ eine binäre Relation.
\begin{itemize*}
\item R ist reflexiv, wenn $(a,a)\in R$ für alle $a\in W$ gilt.
\item R ist antisymmetrisch, wenn $(a,b),(b,a)\in R$ impliziert, dass $a=b$ gilt (für alle $a,b\in W$).
\item R ist transitive, wenn $(a,b),(b,c)\in R$ impliziert, dass $(a,c)\in R$ gilt (für alle $a,b,c\in W$).
\item R ist eine Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. In diesem Fall heißt das Paar $(W,R)$ eine partiell geordnete Menge.
\item Sei $\leq$ übliche Ordnung auf $\mathbb{R}$und $W\subseteq\mathbb{R}$. Dann ist $(W,\leq)$ partiell geordnete Menge.
\item Sei $X$ eine Menge und $W\subseteq P(X)$. Dann ist $(W,\subseteq)$ partiell geordnete Menge.
\item Sei $W=P(\sum*)$ und $\leq_p$ die Relation "es gibt Polynomialzeitreduktion" (vgl. "Automaten, Sprachen und Komplexität"). Diese Relation ist reflexiv, transitiv, aber nicht antisymmetrisch (denn $3-SAT\leq_p HC$ und $HC\leq_p 3-SAT$).
\note{Definition}{Sei $(W,\leq)$ partiell geordnete Menge, $M\subseteq W$ und $a\in W$.
\begin{itemize*}
\item a ist obere Schranke von $M$, wenn $m\leq a$ für alle $m\in M$ gilt.
\item a ist kleinste obere Schranke oder Supremum von $M$, wenn $a$ obere Schranke von $M$ ist und wenn $a\leq b$ für alle oberen Schranken $b$ von $M$ gilt. Wir schreiben in diesem Fall $a=sup \ M$.
\item a ist untere Schranke von $M$, wenn $a\leq m$ für alle $m\in M$ gilt.
\item a ist größte untere Schranke oder Infimum von $M$, wenn a untere Schranke von $M$ ist und wenn $b\leq a$ für alle unteren Schranken $b$ von $M$ gilt. Wir schreiben in diesem Fall $a=inf\ M$.
\note{Definition}{ Ein (vollständiger) Verband ist eine partiell geordnete Menge $(W,\leq)$, in der jede Menge $M\subseteq W$ ein Supremum $sup\ M$ und ein Infimum $inf\ M$ hat.}
In einem Verband $(W,\leq)$ definieren wir:
\begin{itemize*}
\item$0_W = inf\ W$ und $1_W= sup\ W$
\item$a\wedge_W b= inf\{a,b\}$ und $a\vee_W b= sup\{a,b\}$ für $a,b\in W$
Bemerkung: In jedem Verband $(W,\leq)$ gelten $0_W= sup\ \varnothing$ und $1_W= inf\ \varnothing$ (denn jedes Element von $W$ ist obere und untere Schranke von $\varnothing$).
\note{Definition}{Ein Wahrheitswertebereich ist ein Tupel $(W,\leq,\rightarrow W,\lnot W)$, wobei $(W,\leq)$ ein Verband und $\rightarrow W:W^2\rightarrow W$ und $\lnot W:W\rightarrow W$ Funktionen sind.}
\item Der Boolesche Wahrheitswertebereich B ist definiert durch die Grundmenge $B=\{0,1\}$, die natürliche Ordnung $\leq$ und die Funktionen $\lnot_B (a)=1-a$, $\rightarrow_B(a,b)= max(b, 1-a)$. Hier gelten:
\item Der Kleenesche Wahrheitswertebereich $K_3$ ist definiert durch die Grundmenge $K_3=\{0,\frac{1}{2},1\}$ mit der natürlichen Ordnung $\leq$ und durch die Funktionen $\lnot_{K_3}(a)=1-a $, $\rightarrow_{K_3}(a,b)= max(b, 1-a)$. Hier gelten:
\item Der Wahrheitswertebereich F der Fuzzy-Logik ist definiert durch die Grundmenge $F=[0,1]\subseteq\mathbb{R}$ mit der natürlichen Ordnung $\leq$ und durch die Funktionen $\lnot_F (a)=1-a$, $\rightarrow_F (a,b)= max(b, 1-a)$. Hier gelten:
\item Der Boolesche Wahrheitswertebereich $B_R$ ist definiert durch die Grundmenge $B_R=\{A|A\subseteq\mathbb{R}\}$ mit der Ordnung $\subseteq$ und durch die Funktionen $\lnot_{B_R}(A)=\mathbb{R}\backslash A$, $\rightarrow_{B_R}(A,B)= B\cup\mathbb{R}\backslash A$. Hier gelten:
\item Der Heytingsche Wahrheitswertebereich $H_R$ ist definiert durch die Grundmenge $H_{mathbb{R}}=\{A\subseteq\mathbb{R} | \text{A ist offen}\}$, die Ordnung $\subseteq$ und durch die Funktionen $\lnot_{H_R}(A)= Inneres(\mathbb{R}\backslash A)$, $\rightarrow_{H_R}(A,B)=Inneres(B\cup\mathbb{R}\backslash A)$. Hier gelten:
Sei W ein Wahrheitswertebereich und B eine W-Belegung. Induktiv über den Formelaufbau definieren wir den Wahrheitswert $\hat{B}(\phi)\in W$ jeder zu $B$ passenden Formel $\phi$:
\begin{itemize*}
\item$\hat{B}(\bot)=0_W$
\item$\hat{B}(p)= B(p)$ falls $p$ eine atomare Formel ist
\item Für eine beliebige B-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow B$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow(q\wedge p))= max(B(q\wedge p), 1-B(p\wedge q))= max(min(B(q),B(p)), 1-min(B(p),B(q)))=1=1_B$
\item Für die $K_3$-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow K_3$ mit $B(p)=B(q)=\frac{1}{2}$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow(q\wedge p))= max(B(q\wedge p), 1-B(p\wedge q))= max(min(B(q),B(p)), 1-min(B(p),B(q)))=\frac{1}{2}\not=1_{K_3}$
\item analog gibt es eine F-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow F$, so dass $B((p\wedge q)\rightarrow(q\wedge p))\not=1_F$ gilt.
\item Für eine beliebige $H_{mathbb{R}}$-Belegung $B:\{p,q\}\rightarrow H_R$ gilt $B((p\wedge q)\rightarrow(q\wedge p))= Inneres(B(q\wedge p)\cup\mathbb{R}\backslash B(p\wedge q))= Inneres((B(q)\cap B(p))\cup\mathbb{R}\backslash(B(p)\cap B(q)))= Inneres(\mathbb{R})=\mathbb{R}=1_{H_R}$
\end{itemize*}
\subsection{Folgerung und Tautologie}
Sei W ein Wahrheitswertebereich.
Eine Formel $\phi$ heißt eine W-Folgerung der Formelmenge $\Gamma$, falls für jede W-Belegung B, die zu allen Formeln aus $\Gamma\cup\{\phi\}$ paßt, gilt:
Eine W-Tautologie ist eine Formel $\phi$ mit $\varnothing\Vdash W\phi$, d.h. $B(\phi)=1_W$ für alle passenden W-Belegungen B (denn $inf\{\hat{B}(\gamma)|\gamma\in\varnothing\}= inf \varnothing=1_W)$.
"Wenn die Aussagen "Bauteil A oder Bauteil B ist kaputt" und "daraus, dass Bauteil A kaputt ist, folgt, dass Bauteil B kaputt ist" und... wahr sind, ... dann kann man die Folgerung ziehen: die Aussage "das Bauteil A ist heil" ist wahr."
\item W-Tautologie ("wird immer zu $1_W$ ausgewertet")
\end{itemize*}
\end{itemize*}
}
Frage: Was ist die Beziehung zwischen diesen Begriffen, insbes. zwischen "Theorem" und "W-Tautologie"? Da z.B. B-Folgerung $\not=K_3$-Folgerung, hängt die Anwort von W ab.
Existiert eine Menge $\Gamma$ von Formeln und eine Formel $\varphi$ mit $\Gamma\vdash\varphi$ und $\Gamma\not\Vdash_W \varphi$? Für welche Wahrheitswertebereiche W?
Beispiel: Betrachte den Kleeneschen Wahrheitswertebereich $K_3$.
\begin{itemize*}
\item Sei $p$ atomare Formel.
$\frac{[p]^4}{p\rightarrow p}$
Also gilt $\varnothing\vdash p\rightarrow p$, d.h. $p\rightarrow p$ ist Theorem.
\item Sei $B$$K_3$-Belegung mit $B(p)=\frac{1}{2}$. Dann gilt $B(p\rightarrow p)= max(B(p), 1-B(p))=\frac{1}{2}$, also $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\varnothing\}=1 >\frac{1}{2}= B(p\rightarrow p)$.
\end{itemize*}
Damit haben wir gezeigt $\varnothing\not\Vdash_{K_3} p\rightarrow p$.
Die Implikation $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_W \varphi$ gilt also NICHT für den Kleeneschen Wahrheitswertebereich $W=K_3$ und damit auch NICHT für den Wahrheitswertebereich der Fuzzy-Logik $F$.
\note{Korrektheitslemma für nat. Schließen \& Wahrheitswertebereich B}{Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Dann gilt $\Gamma\vdash_B \varphi$, d.h. $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)$ für alle passenden B-Belegungen $B$.}
Beweis: Induktion über die Größe der Deduktion $D$ (d.h. Anzahl der Regelanwendungen).
\begin{itemize*}
\item I.A.: die kleinste Deduktion $D$ hat die Form $\varphi$ mit Hypothese $\varphi$ und Konklusion $\varphi$. Sei $B$ passendeB-Belegung. Hypothesen von $D$ in $\Gamma\Rightarrow\varphi\in\Gamma\Rightarrow inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)\Rightarrow\Gamma\vdash_B \varphi$
\item I.V.: Behauptung gelte für alle Deduktionen, die kleiner sind als $D$.
\item I.S.: Wir unterscheiden verschiedene Fälle, je nachdem, welche Regel als letzte angewandt wurde.
\begin{itemize*}
\item$(\wedge I)$ Die Deduktion hat die Form $\frac{\alpha\quad\beta}{\alpha\wedge\beta}$
mit $\varphi=\alpha\wedge\beta$. Sei $B$ passende B-Belegung. Nach IV gelten $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\alpha)$ und $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\beta)$
Da $B$ beliebig war, haben wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
\item$(\vee E)$ Die Deduktion $D$ hat die Form $\frac{\alpha\vee\beta\quad\phi\quad\phi}{\phi}$
Also gibt es Deduktion $E$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\alpha\vee\beta$ und Deduktionen $F$ und $G$ mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\alpha\}$ bzw. $\Gamma\cup\{\beta\}$ und Konklusion $\varphi$. Sei $B$ passende B-Belegung. Nach IV gelten
Da $B$ beliebig war, habe wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
\end{itemize*}
\item$(raa)$ Die DeduktionDhat die Form $\frac{\bot}{\phi}$
Sei $B$ eine passende B-Belegung. Nach IV gilt $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}\leq B(\bot)=0$.
Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
\begin{itemize*}
\item$inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=0$: dann gilt $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}\leq B(\varphi)$.
\item$inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}=1$: Wegen $inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\}=0$ folgt $0=B(\lnot\varphi)=\lnot_B (B(\varphi))$ und daher $B(\varphi)=1\geq inf\{B(\gamma)|\gamma\in\Gamma\}$.
Da $B$ beliebig war, haben wir $\Gamma\vdash_B \varphi$ gezeigt.
Ist die letzte Schlußregel in der Deduktion $D$ von der Form $(\wedge I), (\vee E), (\rightarrow I)$ oder $(raa)$, so haben wir die Behauptung des Lemmas gezeigt. Analog kann dies für die verbleibenden Regeln getan werden.
\note{Korrektheitssatz für natürliches Schließen \& Wahrheitswertebereich $B$}{Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash_B\varphi$.}
Beweis: Wegen $\Gamma\vdash\varphi$ existiert eine Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Nach dem Korrektheitslemma folgt $\Gamma\vdash_B \varphi$.
\item Variante: verallgemeinere den Beweis von Korrektheitslemma und Korrektheitssatz für $B$ auf $B_\mathbb{R}$ (Problem: wir haben mehrfach ausgenutzt, dass $B=\{0,1\}$ mit $0<1$)
\item Variante: Folgerung aus Korrektheitssatz für $B$.
\note{Korrektheitslemma für nat. Schließen \& Wahrheitswertebereich $H_{mathbb{R}}$}{Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in der Menge $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regel $(raa)$ nicht verwendet. Dann gilt $\Gamma\vdash_{H_\mathbb{R}}\varphi$.}
\note{Korrektheitssatz für nat. Schließen \& Wahrheitswertebereich $H_{mathbb{R}}$}{Für jede Menge von Formeln $\Gamma$ und jede Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi$ ohne $(raa)$$\Rightarrow\Gamma\vdash_{H_{mathbb{R}}}\varphi$.}
Existiert eine Menge $\Gamma$ von Formeln und eine Formel $\varphi$ mit $\Gamma\vdash_W\varphi$ und $\Gamma\not\vdash\varphi$? Für welche Wahrheitswertebereiche $W$?
Frage für diese Vorlesung: Für welche Wahrheitswertebereiche $W$ gilt $\Gamma\vdash_W \varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$ bzw. $\varphi$ ist $W$-Tautologie $\Rightarrow\varphi$ ist Theorem?
\note{Lemma}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Gamma\not\vdash\varphi\Leftrightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ konsistent.}
Beweis: Wir zeigen "$\Gamma\vdash\varphi\Leftrightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ inkonsistent":
\begin{itemize*}
\item Richtung "$\Rightarrow$", gelte also $\Gamma\vdash\varphi$.
\begin{itemize*}
\item$\Rightarrow$ es gibt Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$
\item$\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ und Konklusion $\bot$: $\frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot}$
\item$\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}\vdash\bot$, d.h.$\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ ist inkonsistent.
\end{itemize*}
\item Richtung "$\Leftarrow$", sei also $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ inkonsistent.
\begin{itemize*}
\item$\Rightarrow$ Es gibt Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ und Konklusion $\bot$.
\item$\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$: $\frac{\bot}{\varphi}$
\note{Definition}{Eine Formelmenge $\Delta$ ist maximal konsistent, wenn sie konsistent ist und wenn gilt "$\sum\supseteq\Delta$ konsistent $\Rightarrow\sum=\Delta$".}
\item$\Rightarrow$$\exists$ Deduktion $D$ mit Hypothesen in $\Delta\cup\{\varphi\}$ und Konklusion $\bot$.
\item$\Delta\vdash\varphi\Rightarrow\exists$ Deduktion $E$ mit Hypothesen in $\Delta$ und Konklusion $\varphi$.
\item$\Rightarrow$ Wir erhalten die folgende Deduktion: $\frac{\Delta\frac{\Delta}{\varphi}}{\bot}$
\item Also $\Delta\vdash\bot$, ein Widerspruch zur Konsistenz von $\Delta$. Also ist $\Delta\cup\{\varphi\}$ konsistent.
\end{itemize*}
\item Da $\Delta\cup\{\varphi\}\supseteq\Delta$ konsistent und $\Delta$ maximal konsistent ist, folgt $\Delta=\Delta\cup\{\varphi\}$, d.h. $\varphi\in\Delta$.
\item Zunächst gelte $\lnot\varphi\in\Delta$. Angenommen, $\varphi\in\Delta$. Dann haben wir die Deduktion $\frac{\lnot\varphi\quad\varphi}{\bot}$ und damit $\Delta\vdash\bot$, was der Konsistenz von $\Delta$ widerspricht.
\note{Definition}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln. $\Gamma$ heißt erfüllbar, wenn es eine passende B-Belegung $B$ gibt mit $B(\gamma)=1_B$ für alle $\gamma\in\Gamma$.}
\item I.A.: hat $\varphi$ die Länge 1, so ist $\varphi$ atomare Formel. Hier gilt (*) nach Konstruktion von $B$.
\item I.V.: Gelte (*) für alle Formeln der Länge $<n$.
\item I.S.: Sei $\varphi$ Formel der Längen$>1$. $\Rightarrow$ Es gibt Formeln $\alpha$ und $\beta$ der Länge$<n$ mit $\varphi\in\{\lnot\alpha,\alpha\wedge\beta,\alpha\vee\beta,\alpha\rightarrow\beta\}$.
\end{enumerate*}
\begin{itemize*}
\item Wir zeigen (*) für diese vier Fälle einzeln auf den folgenden Folien.
\item Zur Erinnerung: $\Delta$ max. konsistent, $\varphi$ Formel
\item$B(\varphi)=1_B \Rightarrow B(\alpha)=B(\beta)=1_B \Rightarrow\alpha,\beta\in\Delta\Rightarrow\Delta\vdash\varphi$ denn $\frac{\alpha\quad\beta}{\alpha\wedge\beta}$ ist Deduktion $\Rightarrow\varphi\in\Delta$.
\item$\varphi$$\in$$\Delta$
$\Rightarrow\Delta\vdash\alpha$ und $\Delta\vdash\beta$ denn $\frac{\varphi}{\alpha}$ und $\frac{\varphi}{\beta}$ sind Deduktionen. $\Rightarrow\alpha,\beta\in\Delta\Rightarrow B(\alpha),B(\beta)=1_B=\Rightarrow B(\varphi)=1_B$
\end{itemize*}
\item$\varphi=\alpha\vee\beta$.
\begin{itemize*}
\item$B(\varphi)=1_B \Rightarrow B(\alpha)=1_B$ oder $B(\beta)=1_B$
\begin{itemize*}
\item angenommen, $B(\alpha)=1_B \Rightarrow\alpha\in\Delta\Rightarrow\Delta\vdash\varphi$ denn $\frac{\alpha}{\varphi}$ ist Deduktion $\Rightarrow\varphi\in\Delta$
\item angenommen, $B(\alpha)=0_B \Rightarrow B(\beta)=1_B$. weiter analog.
\end{itemize*}
\item$\varphi\in\Delta$. Dann gilt $\Delta\cup\{\lnot\alpha ,\lnot\beta\}\vdash\bot$ aufgrund der Deduktion
Aufgrund der nebenstehenden Deduktion gilt $\Delta\vdash\bot$, d.h. $\Delta$ ist inkonsistent, im Widerspruch zur Annahme. $\Rightarrow B(\varphi)=1_B$
\note{Lemma}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Gamma\not\Vdash_B\varphi\Leftarrow\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\varphi\}$ erfüllbar.}
\note{Beobachtung}{Sei $W$ einer der Wahrheitswertebereiche $B, K_3, F, H_R$ und $B_R,\Gamma$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Gamma\Vdash W\varphi\Rightarrow\Gamma\Vdash B\varphi$.}
Beweis: Sei $B$ beliebige B-Belegung, die zu jeder Formel in $\Gamma\cup\{\varphi\}$ paßt. definiere W-Belegung $B_W$ durch $B_W(pi)=\begin{cases}1_W \quad\text{ falls } B(p_i)=1_B \\0_W \quad\text{ sonst}\end{cases}$.
per Induktion über die Formelgröße kann man für alle Formeln $\psi$, zu denen $B$ paßt, zeigen:
\note{Satz (Vollständigkeitssatz)}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln, $\varphi$ eine Formel und $W$ einer der Wahrheitswertebereiche $B,K_3 , F, B_R$ und $H_R$. Dann gilt $\Gamma\Vdash_W\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$.
\note{Satz}{Seien $\Gamma$ eine Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel. Dann gilt $\Gamma\vdash\varphi\Leftarrow\Rightarrow\Gamma\Vdash_B \varphi$.
Insbesondere ist eine Formel genau dann eine B-Tautologie, wenn sie ein Theorem ist.}
Da es nur endlich viele solche Abbildungen gibt und $B(\varphi)$ berechnet werden kann, ist dies eine entscheidbare Aussage.
\subsubsection{Folgerung 2: Äquivalenzen und Theoreme}
\note{Definition}{Zwei Formeln $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent $(\alpha\equiv\beta)$, wenn für alle passenden B-Belegungen $B$ gilt: $B(\alpha)=B(\beta)$.}
\note{Satz}{ Es gelten die folgenden Äquivalenzen:
es bleibt z.z., dass dies äquivalent zu $\varnothing\vdash(\alpha\leftrightarrow\beta)$ ist.
\begin{itemize*}
\item$\Rightarrow$: Wir haben also Deduktionen mit Hypothesen in $\{\alpha\}$ bzw. in $\{\beta\}$ und Konklusionen $\beta$ bzw.$\alpha$. Es ergibt sich eine hypothesenlose Deduktion von $\alpha\leftrightarrow\beta$:
\item$\Leftarrow$: Wir haben also eine hypothesenlose Deduktion von $\alpha\leftrightarrow\beta$. Es ergeben sich die folgenden Deduktionen mit Hypothesen $\beta$ bzw. $\alpha$ und Konklusionen $\alpha$ bzw. $\beta$:
\note{Satz}{Sei $\Gamma$ eine u.U. unendliche Menge von Formeln und $\varphi$ eine Formel mit $\Gamma\Vdash_B\varphi$. Dann existiert $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich mit $\Gamma'\Vdash_B \varphi$.}
\note{Folgerung (Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz)}{Sei $\Gamma$ eine u.U. unendliche Menge von Formeln. Dann gilt $\Gamma$ unerfüllbar $\Leftarrow\Rightarrow\exists\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'$ unerfüllbar}
\item Da $\Delta$ endlich ist, existiert endliche Menge $W\subseteq N$, so dass jede atomare Formel in $\Delta$ die Form $p_{n,c}$ für ein $n\in W$ und ein $c\in\{1,2,3\}$ hat.
\item Nach Annahme existiert $f_W:W\rightarrow\{1,2,3\}$ mit $f_W(m)\not=f(n)$ f.a. $\{m,n\}\in E\cap\binom{W}{2}$.
\item Definiere $B:\{p_{n,c}|n\in W, 1\leq c\leq3\}\rightarrow\{0,1\}$ durch $B(p_{n,c})=\begin{cases}1\quad\text{ falls } f_W(n)= c \\0\quad\text{ sonst.}\end{cases}$
\item Diese Belegung erfüllt $\Delta$, d.h. $\Delta$ ist erfüllbar, womit die Behauptung gezeigt ist.
Nach dem Kompaktheitssatz ist also $\Gamma$ erfüllbar.
Sei $B$ erfüllende Belegung. Für $n\in N$ existiert genau ein $c\in\{1,2,3\}$ mit $B(p_{n,c})=1$. Setze $f(n)=c$. Dann ist $f$ eine gültige Färbung des Graphen $G$.
\subsubsection{2. Anwendung des Kompaktheitsatzes: Parkettierungen}
Idee: Gegeben ist eine Menge von quadratischen Kacheln mit gefärbten Kanten. Ist es möglich, mit diesen Kacheln die gesamte Ebene zu füllen,so dass aneinanderstoßende Kanten gleichfarbig sind?
\note{Definition}{Ein Kachelsystem besteht aus einer endlichen Menge C von "Farben" und einer Menge K von Abbildungen $\{N,O,S,W\}\rightarrow C$ von "Kacheln".
Eine Kachelung von $G\subseteq Z\times Z$ ist eine Abbildung $f:G\rightarrow K$ mit
\begin{itemize*}
\item$f(i,j)(N)=f(i,j+1)(S)$ für alle $(i,j),(i,j+1)\in G$
\item$f(i,j)(O)=f(i+1 ,j)(W)$ für alle $(i,j),(i+1 ,j)\in G$
\note{Satz}{Sei $K$ ein Kachelsystem. Es existiert genau dann eine Kachelung von $Z\times Z$, wenn für jedes $n\in N$ eine Kachelung von $\{(i,j) :|i|,|j| \leq n\}$ existiert.}
\item offensichtlicher Algorithmus: probiere alle Belegungen durch (d.h. stelle Wahrheitswertetabelle auf)$\rightarrow$ exponentielle Zeit
\item "Automaten, Sprachen und Komplexität": das Problem ist NP-vollständig
\item nächstes Ziel:spezielle Algorithmen für syntaktisch eingeschränkte Formeln $\Gamma$
\item Spätere Verallgemeinerung dieser Algorithmen (letzte Vorlesung des Logik-Teils von "Logik und Logikprogrammierung") bildet Grundlage der logischen Programmierung.
\note{Definition}{Eine Hornklausel hat die Form $(\lnot\bot\wedge p_1\wedge p_2\wedge ... \wedge p_n)\rightarrow q$ für $n\geq0$, atomare Formeln $p_1 ,p_2 ,... ,p_n$ und $q$ atomare Formel oder $q=\bot$.
Eine Hornformel ist eine Konjunktion von Hornklauseln.}
\item Ziel ist es, die folgende Folgerung zu zeigen: $\{(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK),(BK\wedge RL\rightarrow\lnot AK),RL\}\Vdash\lnot AK$
\item Lemma: man muß Unerfüllbarkeit der folgenden Menge zeigen: $\{(AK\vee BK),(AK\rightarrow BK),(BK\wedge RL\rightarrow\lnot AK),RL,\lnot\lnot AK\}$
\item Dies ist keine Menge von Hornklauseln!
\item Idee: ersetze $BK$ durch $\lnot BH$ in allen Formeln.
\item Ergebnis:
\begin{itemize*}
\item Aus $AK\vee BK$ wird $\lnot BH\vee AK\equiv BH\rightarrow AK\equiv\{BH\}\rightarrow AK$.
\item Aus $AK\rightarrow BK$ wird $AK\rightarrow\lnot BH\equiv\lnot AK\vee\lnot BH\equiv AK\wedge BH\rightarrow\bot\equiv\{AK,BH\}\rightarrow\bot$.
\item Aus $BK\wedge RL\rightarrow\lnot AK$ wird $\lnot BH\wedge RL\rightarrow\lnot AK\equiv BH\vee\lnot RL\vee\lnot AK\equiv RL\wedge AK\rightarrow BH\equiv\{RL,AK\}\rightarrow BH$
In der Hornklausel $\{AK,BH\}\rightarrow\bot$ sind alle atomaren Formeln aus $\{AK,BH\}$ markiert. Also gibt der Algorithmus aus, dass die Menge von Hornklauseln nicht erfüllbar ist.
in jedem Durchlauf der while-Schleife wird wenigstens eine atomare Formel markiert. Nach endlich vielen Schritten terminiert die Schleife also.
\item Wenn der Algorithmus eine atomare Formelqmarkiert und wenn $B$ eine B-Belegung ist, die $\Gamma$ erfüllt, dann gilt $B(q)=1_B$.
Beweis: wir zeigen induktiv über $n$: Wenn $q$ in einem der ersten $n$ Schleifendurchläufe markiert wird, dann gilt $B(q)=1_B$.
\begin{itemize*}
\item I.A. Die Aussage gilt offensichtlich für $n=0$.
\item I.S. werde die atomare Formel $q$ in einem der ersten $n$ Schleifendurchläufe markiert. Dann gibt es eine Hornklausel $\{p_1,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow q$, so dass $p_1 ,... ,p_k$ in den ersten $n-1$ Schleifendurchläufen markiert wurden. Also gilt $B(p_1)=...=B(p_k)=1_B$ nach IV.
Da $B$ alle Hornformeln aus $\Gamma$ erfüllt, gilt insbesondere $B(\{p_1 ,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow q)=1_B$ und damit $B(q)=1_B$.
\end{itemize*}
\item Wenn der Algorithmus "unerfüllbar" ausgibt, dann ist $\Gamma$ unerfüllbar.
Beweis: indirekt, wir nehmen also an, dass der Algorithmus "unerfüllbar" ausgibt, $B$ aber eine B-Belegung ist, die $\Gamma$ erfüllt.
Sei $\{p_1 ,... ,p_k\}\rightarrow\bot$ die Hornklausel aus $\Gamma$, die die Ausgabe "unerfüllbar" verursacht (d.h. die atomaren Formeln $p_1 ,... ,p_k$ sind markiert).
Nach 2. gilt $B(p_1)=...=B(p_k)=1_B$, also $B(\{p_1 ,p_2 ,... ,p_k\}\rightarrow\bot)=0_B$ im Widerspruch zur Annahme, dass $B$ alle Hornklauseln aus $\Gamma$ erfüllt.
Also kann es keine erfüllende B-Belegung von $\Gamma$ geben.
\item Wenn der Algorithmus "erfüllbar" ausgibt, dann erfüllt die folgende B-Belegung alle Formeln aus $\Gamma$:
$B(p_i)=\begin{cases}1_B \quad\text{ der Algorithmus markiert } p_i \\0_B \quad\text{ sonst}\end{cases}$
Beweis:
\begin{itemize*}
\item Sei $M\rightarrow q$ eine beliebige Hornklausel aus $\Gamma$.
\item Ist ein $p\in M$ nicht markiert, so gilt $B(\bigwedge_{p\in M} p)=0_B$ und damit $B(M\rightarrow q)=1_B$.
\item Sind alle $p\in M$ markiert, so wird auch $q$ markiert, also $B(q)=1_B$ und damit $B(M\rightarrow q)=1_B$.
\item Gilt $q=\bot$, so existiert unmarkiertes $p\in M$ (da der Algorithmus sonst "unerfüllbar" ausgegeben hätte), also $B(M\rightarrow\bot)=1_B$ wie im ersten Fall.
\end{itemize*}
Also gilt $B(M\rightarrow q)=1_B$ für alle Hornklauseln aus $\Gamma$, d.h. $\Gamma$ ist erfüllbar.
\note{Definition}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Hornklauseln. Eine SLD-Resolution aus $\Gamma$ ist eine Folge $(M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,... ,M_m\rightarrow\bot)$ von Hornklauseln mit
\begin{itemize*}
\item$(M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma$
\item für alle $0\leq n<m$ existiert $(N\rightarrow q)\in\Gamma$ mit $q\in M_n$ und $M_{n+1}= M_n\backslash\{q\}\cup N$
\note{Lemma A}{Sei $\Gamma$ eine (u.U. unendliche) Menge von Hornklauseln und $(M_0\rightarrow\bot, M_1\rightarrow\bot,... , M_m\rightarrow\bot)$ eine SLD-Resolution aus $\Gamma$ mit $M_m=\varnothing$. Dann ist $\Gamma$ nicht erfüllbar.}
\item$\Rightarrow$ es gibt $p\in M_0$ mit $B(p)=0_B$
\end{itemize*}
\item I.V.: sei $n<m$ und $p\in M_n$ mit $B(p)=0_B$
\item I.S.: $(... ,M_n\rightarrow\bot,M_{n+1}\rightarrow\bot,...)$ SLD-Resolution $\Rightarrow$ es gibt $(N\rightarrow q)\in\Gamma$ mit $M_{n+1}=M_n\backslash\{q\}\cup N$ und $q\in M_n$. Zwei Fälle werden unterschieden:
\begin{enumerate*}
\item$p\not=q$: dann gilt $p\in M_{n+1}$ mit $B(p)=0_B$
\item$p=q:(N\rightarrow q)\in\Gamma\Rightarrow B(N\rightarrow q)=1_B$ es gibt $p'\in N\subseteq M_{n+1}$ mit $B(p')=0_B$
in jedem der zwei Fälle gilt also (4) für $n+1$.
\end{enumerate*}
\item Damit ist der induktive Beweis von (4) abgeschlossen.
\item Mit $m=n$ haben wir insbesondere "es gibt $p\in M_m$ mit $B(p)=0_B$" im Widerspruch zu $M_m=\varnothing$. Damit ist der indirekte Beweis abgeschlossen.
\end{itemize*}
\note{Lemma B}{Sei $\Gamma$ eine (u.U. unendliche) unerfüllbare Menge von Hornklauseln. Dann existiert eine SLD-Resolution $(M_0\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot)$ aus $\Gamma$ mit $M_m=\varnothing$.}
Beweis: Endlichkeitssatz: es gibt $\Delta\subseteq\Gamma$ endlich und unerfüllbar. Bei Eingabe von$\Delta$ terminiert Markierungsalgorithmus mit "unerfüllbar"
\begin{itemize*}
\item$r\geq0...$ Anzahl der Runden
\item$q_i...$ Atomformel, die in $i$ Runde markiert wird $(1\leq i\leq r)$
\end{itemize*}
Behauptung: Es gibt $m\leq r$ und SLD-Resolution $(M_0\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot)$ aus $\Delta$ mit $M_m=\varnothing$ und $M_n\subseteq\{q_1,q_2,... ,q_{r-n}\}$ f.a. $0\leq n\leq m$. (5)
Beweis der Behauptung: Wir konstruieren die Hornklauseln $M_i\rightarrow\bot$ induktiv:
\begin{itemize*}
\item I.A.: Da der Markierungsalgorithmus mit "unerfüllbar" terminiert, existiert eine Hornklausel $(M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma$ mit $M_0\subseteq\{q_1,... ,q_{r-0}\}$. $(M_0\rightarrow\bot)$ ist SLD-Resolution aus $\Delta$, die (5) erfüllt.
\item I.V.: Sei $n\leq r$ und $(M_0\rightarrow\bot,... ,M_n\rightarrow\bot)$ SLD-Resolution, so dass (5) gilt.
\item I.S.: wir betrachten drei Fälle:
\begin{enumerate*}
\item Fall $M_n=\varnothing$: mit $m:=n$ ist Beweis der Beh. abgeschlossen.
\item Fall $n=r$: Nach (5) gilt $M_n\subseteq\{q_1,...,q_{r-n}\}=\varnothing$. Mit $m:=n$ ist der Beweis der Beh. abgeschlossen.
\item Fall $n<r$ und $M_n \not=\varnothing$. Sei $k$ maximal mit $q_k\in M_n\subseteq\{q_1,q_2,... ,q_{r-n}\}$. Also existiert $(N\rightarrow q_k)\in\Delta$, so dass $N\subseteq\{q_1,... ,q_{k-1}\}$. Setze $M_{n+1}=M_n\backslash\{q_k\}\cup N\subseteq\{q_1,... ,q_{k-1}\}\subseteq\{q_1,...,q_{r-(n+1)}\}$.
\end{enumerate*}
\end{itemize*}
Damit ist der induktive Beweis der Beh. abgeschlossen, woraus das Lemma unmittelbar folgt.
\note{Satz}{Sei $\Gamma$ eine (u.U. unendliche) Menge von Hornklauseln. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate*}
\item$\Gamma$ ist nicht erfüllbar.
\item Es gibt eine SLD-Resolution $(M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,... ,M_m\rightarrow\bot)$ aus $\Gamma$ mit $M_m=\varnothing$.
\end{enumerate*}
}
Beweis: Folgt unmittelbar aus Lemmata A und B.
Beispiel: $\Gamma=\{\{a,b\}\rightarrow\bot,\{a\}\rightarrow c, \{b\}\rightarrow c,\{c\}\rightarrow a,\varnothing\rightarrow b$; alle SLD-Resolutionen aus$\Gamma$ kann man durch einen Baum beschreiben:
Um über diesen Graphen Aussagen in der Aussagenlogik zu machen, verwenden wir Formeln $\varphi_{i,j}$ für $1\leq i,j\leq9$ mit $\varphi_{i,j}=\begin{cases}\lnot\bot\quad\text{ falls}(v_i,v_j) Kante\\\bot\quad\text{ sonst}\end{cases}$
\begin{itemize*}
\item Die aussagenlogische Formel $\bigvee_{1\leq i,j\leq9}\varphi_{i,j}$ sagt aus, dass der Graph eine Kante enthält.
\item Die aussagenlogische Formel $\bigwedge_{1\leq i\leq9}\bigvee_{1\leq j\leq9}\varphi_{i,j}$ sagt aus, dass jeder Knoten einen Nachbarn hat
\item Die aussagenlogische Formel $\bigvee_{1\leq i,j,k\leq9 verschieden}\varphi_{i,j}\wedge\varphi_{j,k}\wedge\varphi_{k,i}$ sagt aus, dass der Graph ein Dreieck enthält.
\end{itemize*}
Man kann so vorgehen, wenn der Graph bekannt und endlich ist. Sollen analoge Aussagen für einen anderen Graphen gemacht werden, so ist die Kodierungsarbeit zu wiederholen.
Beispiel: Datenbanken
\begin{itemize*}
\item Im folgenden reden wir über die Studenten und die Lehrenden in Veranstaltungen zur Theoretischen Informatik in diesem Semester. Betrachte die folgenden Aussagen:
\begin{itemize*}
\item Jeder ist Student oder wissenschaftlicher Mitarbeiter oder Professor.
\item Dietrich Kuske ist Professor.
\item Kein Student ist Professor.
\item Jeder Student ist jünger als jeder Professor.
\item Es gibt eine Person, die an den Veranstaltungen "Logik und Logikprogrammierung" und "Algorithmen und Datenstrukturen" teilnimmt.
\item Es gibt eine Person, die kein wissenschaftlicher Mitarbeiter ist und nicht an beiden Veranstaltungen teilnimmt.
\item Jeder Student ist jünger als die Person, mit der er am besten über Informatik reden kann.
\end{itemize*}
\item Um sie in der Aussagenlogik machen zu können, müssen wir atomare Aussagen für "Hans ist Student", "Otto ist jünger als Ottilie" usw. einführen. Dies ist nur möglich, wenn
\begin{enumerate*}
\item alle involvierten Personen bekannt sind und fest stehen und
\item es nur endlich viele involvierte Personen gibt.
\end{enumerate*}
\item Sollen analoge Aussagen für das vorige oder das kommende Jahr gemacht werden, so ist die gesamte Kodierungsarbeit neu zu machen.
\end{itemize*}
\subsection{Kodierung in einer Struktur}
\begin{itemize*}
\item Grundmenge: Die Studenten und die Lehrenden in Veranstaltungen zur Theoretischen Informatik in diesem Sommersemester
\item Teilmengen:
\begin{itemize*}
\item$S(x)$ "x ist Student"
\item$LuLP(x)$ "x nimmt an der Veranstaltung LuLP teil"
\item$AuD(x)$ "x nimmt an der Veranstaltung AuD teil"
\item$Pr(x)$ "x ist Professor"
\item$WM(x)$ "x ist wissenschaftlicher Mitarbeiter"
\end{itemize*}
\item Relationen:
\begin{itemize*}
\item$J(x,y)$ "x ist jünger als y"
\end{itemize*}
\item Funktion:
\begin{itemize*}
\item$f(x)$ ist diejenige Person (aus dem genannten Kreis), mit der x am besten über Informatik reden kann.
\end{itemize*}
\item Konstante:
\begin{itemize*}
\item$dk$ Dietrich Kuske
\end{itemize*}
\end{itemize*}
Die in der Aussagenlogik nur schwer formulierbaren Aussagen werden nun
\begin{itemize*}
\item Für alle $x$ gilt $S(x)\vee WM(x)\vee Pr(x)$
\item$Pr(dk)$
\item Für alle $x$ gilt $S(x)\rightarrow\lnot Pr(x)$
\item Für alle $x$ und $y$ gilt $(S(x)\wedge Pr(y))\rightarrow J(x,y)$
\item Es gibt ein $x$ mit $LuLP(x)\wedge AuD(x)$
\item Es gibt ein $x$ mit $((\lnot LuLP(x)\vee\lnot AuD(x))\wedge\lnot WM(x))$
\item Für alle $x$ gilt $S(x)\rightarrow J(x,f(x))$
\end{itemize*}
Bemerkung: Diese Formulierungen sind auch brauchbar, wenn die Grundmenge unendlich ist. Sie sind auch unabhängig vom Jahr (im nächsten Jahr können diese Folien wieder verwendet werden).
Ziel
\begin{itemize*}
\item Wir wollen in der Lage sein, über Sachverhalte in "Strukturen" (Graphen, Datenbanken, relle Zahlen, Gruppen... ) zu reden.
\item Dabei soll es "Relationen" geben, durch die das Enthaltensein in einer Teilmenge oder Beziehungen zwischen Objekten ausgedrückt werden können (z.B. $S(x),J(x,y),...$ )
\item Weiter soll es "Funktionen" geben, durch die Objekte (oder Tupel von Objekten) auf andere Objekte abgebildet werden (z.B. $f$)
\item Nach welchen Regeln bildet man korrekte Formeln?
\item Was ist eine Struktur?
\item Wann hat eine Aussage in einer Struktur eine Bedeutung (ist "sinnvoll")?
\item Wann "gilt" eine Aussage in einer Struktur?
\item Gibt es Formeln, die in allen Strukturen gelten?
\item Kann man solche Formeln algorithmisch identifizieren? Gibt es einen Beweiskalkül wie das natürliche Schließen oder die SLD-Resolution?
\item .........
\end{itemize*}
\subsection{Syntax der Prädikatenlogik}
Formeln machen Aussagen über Strukturen. Dabei hat es keinen Sinn zu fragen, ob eine Formel, die über Studenten etc. redet, im Graphen $G$ gilt.
\note{Definition}{Eine Signatur ist ein Tripel $\sum=(\Omega, Rel,ar)$, wobei $\Omega$ und $Rel$ disjunkte Mengen von Funktions- und Relationsnamen sind und $ar:\Omega\cup Rel\rightarrow\mathbb{N}$ eine Abbildung ist.}
Beispiel: $\Omega=\{f,dk\}$ mit $ar(f)=1,ar(dk)=0$ und $Rel=\{S,LuLP,AuD,Pr,WM,J\}$ mit $ar(S)=ar(LuLP)=ar(AuD)=ar(Pr)=ar(WM)=1 undar(J)=2$ bilden die Signatur der Datenbank von vorhin.
\begin{itemize*}
\item typische Funktionsnamen: $f, g, a, b...$ mit $ar(f),ar(g) > 0$ und $ar(a)=ar(b)=0$
\item typische Relationsnamen: $R,S,...$
\end{itemize*}
\note{Definition}{Die Menge der Variablen ist $Var=\{x_0,x_1 ,...\}$.}
\note{Definition}{Sei $\sum$ eine Signatur. Die Menge $T_{\sum}$ der $\sum$-Terme ist induktiv definiert:
\begin{enumerate*}
\item Jede Variable ist ein Term, d.h. $Var\subseteq T_{\sum}$
\item ist $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und sind $t_1,...,t_k\in T_{\sum}$, so gilt $f(t_1,...,t_k)\in T_{\sum}$
\item Nichts ist $\sum$-Term, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.
\end{enumerate*}
}
Beispiel:In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden Terme:
\begin{itemize*}
\item$x_1$ und $x_8$
\item$f(x_0)$ und $f(f(x_3))$
\item$dk()$ und $f(dk())$ - hierfür schreiben wir kürzer $dk$ bzw. $f(dk)$
\end{itemize*}
\note{Definition}{Sei $\sum$ Signatur. Die atomaren $\sum$-Formeln sind die Zeichenketten der Form
\begin{itemize*}
\item$R(t_1,t_2,...,t_k)$ falls $t_1,t_2,...,t_k\in T_{\sum}$ und $R\in Rel$ mit $ar(R)=k$ oder
\item$t_1=t_2$ falls $t_1,t_2\in T_{\sum}$ oder
\item$\bot$.
\end{itemize*}
}
Beispiel: In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden atomaren Formeln:
\begin{itemize*}
\item$S(x_1)$ und $LuLP(f(x4))$
\item$S(dk)$ und $AuD(f(dk))$
\end{itemize*}
\note{Definition}{Sei $\sum$ Signatur. $\sum$-Formeln werden durch folgenden induktiven Prozeß definiert:
\begin{enumerate*}
\item Alle atomaren $\sum$-Formeln sind $\sum$-Formeln.
\item Falls $\varphi$ und $\Psi$$\sum$-Formeln sind, sind auch $(\varphi\wedge\Psi)$,$(\varphi\vee\Psi)$ und $(\varphi\rightarrow\Psi)$$\sum$-Formeln.
\item Falls $\varphi$ eine $\sum$-Formel ist, ist auch $\lnot\varphi$ eine $\sum$-Formel.
\item Falls $\varphi$ eine $\sum$-Formel und $x\in Var$, so sind auch $\forall x\varphi$ und $\exists x\varphi$$\sum$-Formeln.
\item Nichts ist $\sum$-Formel, was sich nicht mittels der obigen Regeln erzeugen läßt.
\end{enumerate*}
}
Ist die Signatur $\sum$ aus dem Kontext klar, so sprechen wir einfach von Termen, atomaren Formeln bzw.Formeln.
Beispiel:In der Signatur der Datenbank von vorhin haben wir u.a. die folgenden Formeln:
Wir verwenden die aus der Aussagenlogik bekannten Abkürzungen, z.B. steht $\varphi\leftrightarrow\Psi$ für $(\varphi\rightarrow\Psi)\wedge(\Psi\rightarrow\varphi)$.
Zur verbesserten Lesbarkeit fügen wir mitunter hinter quantifizierten Variablen einen Doppelpunkt ein, z.B. steht $\exists x\forall y:\varphi$ für $\exists x\forall y\varphi$
Ebenso verwenden wir Variablennamen $x$,$y$,$z$ u.ä.
Präzedenzen: $\lnot,\forall x,\exists x$ binden am stärksten
Beispiel: $(\lnot\forall x:R(x,y)\wedge\exists z:R(x,z))\rightarrow P(x,y,z)$ steht für $((\lnot(\forall x:R(x,y))\wedge\exists z:R(x,z))\rightarrow P(x,y,z))$
\subsection{Aufgabe}
Im folgenden seien
\begin{itemize*}
\item$P$ ein-stelliges, $Q$ und $R$ zwei-stellige Relationssymbole,
\item$a$ null-stelliges und $f$ ein-stelliges Funktionssymbol und
\item Erinnerung: Die Frage "Ist die aussagenlogische Formel $\varphi$ wahr oder falsch?" war sinnlos, denn wir wissen i.a. nicht, ob die atomaren Aussagen wahr oder falsch sind.
\item Analog: Die Frage "Ist die prädikatenlogische Formel $\varphi$ wahr oder falsch?" ist sinnlos, denn wir wissen bisher nicht, über welche Objekte, über welche "Struktur" $\varphi$ spricht.
\end{itemize*}
\note{Definition}{Sei $\sum$ eine Signatur. Eine $\sum$-Struktur ist ein Tupel $A=(U_A,(f^A)_{f\in\Omega},(R^A)_{R\in Rel})$, wobei
\begin{itemize*}
\item$U_A$ eine nichtleere Menge, das Universum,
\item$R^A\supseteq U_A^{ar(R)}$ eine Relation der Stelligkeit $ar(R)$ für $R\in Rel$ und
\item$f^A:U_A^{ar(f)}\rightarrow U_A$ eine Funktion der Stelligkeit $ar(f)$ für $f\in\Omega$ ist.
\end{itemize*}
}
Bemerkung: $U_A^0=\{()\}$.
\begin{itemize*}
\item Also ist $a^A:U_A^0\rightarrow U_A$ für $a\in\Omega$ mit $ar(a)=0$ vollständig gegeben durch $a^A(())\in U_A$. Wir behandeln 0-stellige Funktionen daher als Konstanten.
\item Weiterhin gilt $R^A=\varnothing$ oder $R^A=\{()\}$ für $R\in Rel$ mit $ar(R)=0$.
\end{itemize*}
Beispiel: Graph
\begin{itemize*}
\item Sei $\sum=(\Omega ,Rel,ar)$ mit $\Omega=\varnothing ,Rel=\{E\}$ und $ar(E)=2$ die Signatur der Graphen.
\item Um den Graphen als $\sum$-Struktur $A=(UA,EA)$ zu betrachten, setzen wir
\begin{itemize*}
\item$UA=\{v_1,v_2,...,v_9\}$ und
\item$EA=\{(v_i,v_j)|(v_i,v_j) ist Kante\}$
\end{itemize*}
\end{itemize*}
Im folgenden sei $\sum$ eine Signatur, A eine $\sum$-Struktur und $\rho:Var\rightarrow U_A$ eine Abbildung (eine Variableninterpretation).
Wir definieren eine Abbildung $\rho':T\sum\rightarrow U_A$ induktiv für $t\in T_{\sum}$:
\begin{itemize*}
\item ist $t\in Var$, so setze $\rho'(t)=\rho(t)$
\item ansonsten existieren $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und $t_1,...,t_k\in T_{\sum}$ mit $t=f(t_1,...,t_k)$. Dann setze $\rho'(t)=f^A(\rho'(t_1),...,\rho'(t_k))$.
\end{itemize*}
Die Abbildung $\rho'$ ist die übliche "Auswertungsabbildung".
Zur Vereinfachung schreiben wir auch $\rho(t)$ an Stelle von $\rho'(t)$.
Beispiel:
\begin{itemize*}
\item Seien $A=(R,f^A,a^A)$ mit $f^A$ die Subtraktion und $a$ nullstelliges Funktionssymbol mit $a^A=10$. Seien weiter $x,y\in Var$ mit $\rho(x)=7$ und $\rho(y)=-2$. Dann gilt $\rho(f(a,f(x,y)))=\rho(a)-(\rho(x)-\rho(y))=a^A-(\rho(x)-\rho(y))=1$
\item Seien $A=(Z,f^A,a^A)$ mit $f^A$ die Maximumbildung, $a$ nullstelliges Funktionssymbol mit $a^A=10$. Seien weiter $x,y\in Var$ mit $\rho(x)=7$ und $\rho(y)=-2$. In diesem Fall gilt $\rho(f(a,f(x,y)))= max(\rho(a),max(\rho(x),\rho(y))= max(a^A,max(\rho(x),\rho(y)))=10$
\end{itemize*}
Bemerkung: Wir müssten also eigentlich noch vermerken, in welcher Struktur $\rho(t)$ gebildet wird - dies wird aber aus dem Kontext immer klar sein.
Für eine $\sum$-Formel $\varphi$ definieren wir die Gültigkeit in einer $\sum$-Struktur $A$ unter der Variableninterpretation $\rho$ (in Zeichen: $A\Vdash_\rho\varphi$) induktiv:
\begin{itemize*}
\item$A\Vdash_\rho\bot$ gilt nicht.
\item$A\Vdash_\rho R(t_1,...,t_k)$ falls $(\rho(t_1),...,\rho(t_k))\in R^A$ für $R\in Rel$ mit $ar(R)=k$ und $t_1,...,t_k\in T_{\sum}$.
\item$A\Vdash_\rho t_1=t_2$ falls $\rho(t_1)=\rho(t_2)$ für $t_1,t_2\in T_{\sum}$.
\end{itemize*}
Für $\sum$-Formeln $\varphi$ und $\Psi$ und $x\in Var$:
\begin{itemize*}
\item$A\Vdash_p \varphi\wedge\Psi$ falls $A\Vdash_p\varphi$ und $A\Vdash_p \Psi$.
\item$A\Vdash_p \varphi\vee\Psi$ falls $A\Vdash_p\varphi$ oder $A\Vdash_p\Psi$ .
\item$A\Vdash_p \varphi\rightarrow\Psi$ falls nicht $A\Vdash_p\varphi$ oder $A\Vdash_p\Psi$ .
\item$A\Vdash_p \lnot\varphi$ falls $A\Vdash_p \varphi$ nicht gilt.
\item$A\Vdash_p \exists x\varphi$ falls ???
\item$A\Vdash_p \forall x\varphi$ falls ???
\end{itemize*}
Für $x\in Var$ und $a\in U_A$ sei $\rho[x\rightarrow a]:Var\rightarrow U_A$ die Variableninterpretation, für die gilt $(\rho[x\rightarrow a])(y)=\begin{cases}\rho(y)\quad\text{ falls } x\not=y \\ a \quad\text{ sonst }\end{cases}$
\begin{itemize*}
\item$A\Vdash_p \exists x\varphi$ falls es $a\in U_A$ gibt mit $A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}\varphi$.
\item$A\Vdash_p \forall x\varphi$ falls $A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}\varphi$ für alle $a\in U_A$.
\end{itemize*}
\note{Definition}{Sei $\sum$ eine Signatur, $\varphi$ eine $\sum$-Formel, $\Delta$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $A$ eine $\sum$-Struktur.
\begin{itemize*}
\item$A\Vdash\varphi$ ($A$ ist Modell von $\varphi$) falls $A\Vdash_p\varphi$ für alle Variableninterpretationen $\rho$ gilt.
\item$A\Vdash\Delta$ falls $A\Vdash\Psi$ für alle $\Psi\in\Delta$.
\end{itemize*}
}
Aufgaben
\begin{itemize*}
\item Sei $A$ die Struktur, die dem vorherigen Graphen entspricht
\item Welche der folgenden Formeln $\varphi$ gelten in $A$, d.h. für welche Formeln gilt $A\Vdash_p\varphi$ für alle Variableninterpretationen $\rho$?
\item In der Prädikatenlogik ist es also möglich, die Eigenschaften vom Anfang des Kapitels auszudrücken, ohne den Graphen direkt in die Formel zu kodieren.
\end{itemize*}
\note{Definition}{Sei $\sum$ eine Signatur, $\varphi$ eine $\sum$-Formel, $\Delta$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $A$ eine $\sum$-Struktur.
\begin{itemize*}
\item$\Delta$ ist erfüllbar, wenn es $\sum$-Struktur $B$ und Variableninterpretation $\rho:Var\rightarrow U_B$ gibt mit $B\Vdash_\rho\Psi$ für alle $\Psi\in\Delta$.
\item$\varphi$ ist semantische Folgerung von $\Delta(\Delta\Vdash\varphi)$ falls für alle $\sum$-Strukturen $B$ und alle Variableninterpretationen $\rho:Var\rightarrow U_B$ gilt: Gilt $B\Vdash_\rho\Psi$ für alle $\Psi\in\Delta$, so gilt auch $B\Vdash_\rho\varphi$.
\item$\varphi$ ist allgemeingültig, falls $B\Vdash\rho\varphi$ für alle $\sum$-Strukturen $B$ und alle Variableninterpretationen $\rho$ gilt.
\end{itemize*}
}
Bemerkung: $\varphi$ allgemeingültig gdw. $\varnothing\Vdash\varphi$ gdw. $\{\lnot\varphi\}$ nicht erfüllbar. Hierfür schreiben wir auch $\Vdash\varphi$.
Beispiel: Der Satz $\varphi=(\forall x:R(x)\rightarrow\forall x:R(f(x)))$ ist allgemeingültig.
Beweis: Sei $\sum$ Signatur, so dass $\varphi$$\sum$-Satz ist. Sei $A$$\sum$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation. Wir betrachten zwei Fälle:
\begin{enumerate*}
\item Falls $A\not\Vdash_\rho\forall x R(x)$, so gilt $A\Vdash_p\varphi$.
\item Wir nehmen nun $A\Vdash_p\forall x R(x)$ an. Sei $a\in U_A$ beliebig und $b=f^A(a)$. $A\Vdash_p\forall x R(x)\Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow b]} R(x)\Rightarrow RA\owns(p[x\rightarrow b])(x)= b = f^A(a)=(\rho[x\rightarrow a])(f(x))\Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow a]}R(f(x))$.
Da $a\in U_A$ beliebig war, haben wir also $A\Vdash_p\forall x:R(f(x))$. Also gilt auch in diesem Fall $A\Vdash_p\varphi$.
\end{enumerate*}
Da $A$ und $\rho$ beliebig waren, ist $\varphi$ somit allgemeingültig.
Beispiel:
\begin{itemize*}
\item Der Satz $\varphi=\exists x(R(x)\rightarrow R(f(x)))$ ist allgemeingültig.
\item Beweis: Sei $\sum$ Signatur, so dass $\varphi$$\sum$-Satz ist. Sei $A$$\sum$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation. Wir betrachten wieder zwei Fälle:
\end{itemize*}
\begin{enumerate*}
\item Angenommen, $R^A=U_A$. Sei $a\in U_A$ beliebig.
\note{Definition}{Eine Substitution besteht aus einer Variable $x\in Var$ und einem Term $t\in T_{\sum}$, geschrieben $[x:=t]$.}
Die Formel $\varphi[x:=t]$ ist die Anwendung der Substitution $[x:=t]$ auf die Formel $\varphi$. Sie entsteht aus $\varphi$, indem alle freien Vorkommen von $x$ durch $t$ ersetzt werden. Sie soll das über $t$ aussagen, was $\varphi$ über $x$ ausgesagt hat.
Dazu definieren wir zunächst induktiv, was es heißt, die freien Vorkommen von $x$ im Term $s\in T_{\sum}$ zu ersetzen:
\begin{itemize*}
\item$x[x:=t]=t$
\item$y[x:=t]=y$ für $y\in Var\backslash\{x\}$
\item$(f(t_1 ,...,t_k))[x:=t]=f(t_1[x:=t],...t_k[x:=t])$ für $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und $t_1,...,t_k\in T_{\sum}$
\end{itemize*}
\note{Lemma}{Seien $\sum$ Signatur, $A$$\sum$-Struktur, $\rho:Var\rightarrow U_A$ Variableninterpretation, $x\in Var$ und $s,t\in T_{\sum}$. Dann gilt $\rho(s[x:=t])=\rho[x\rightarrow\rho(t)](s)$.}
Beweis: Induktion über den Aufbau des Terms $s$ (mit $\rho'=\rho[x\rightarrow\rho(t)]$ ):
Beispiel: $(\exists x P(x,f(y))\vee\lnot\forall yQ(y,g(a,h(z))))[y:=f(u)]=(\exists x P(x,f(f(u)))\vee\lnot\forall yQ(y,g(a,h(z))))$
$\varphi[x:=t]$ "soll das über $t$ aussagen, was $\varphi$ über $x$ ausgesagt hat."
Gegenbeispiel: Aus $\exists y$$Mutter(x)=y$ mit Substitution $[x:=Mutter(y)]$ wird $\exists y$ Mutter$(Mutter(y))=y$.
\note{Definition}{Sei $[x:=t]$ Substitution und $\varphi$$\sum$-Formel. Die Substitution $[x:=t]$ heißt für $\varphi$ zulässig, wenn für alle $y\in Var$ gilt: $y$ Variable in $t\Rightarrow\varphi$ enthält weder $\exists y$ noch $\forall y$}
\note{Lemma}{Sei $\sum$ Signatur, A $\sum$-Struktur, $\rho:Var\rightarrow U_A$ Variableninterpretation, $x\in Var$ und $t\in T_{\sum}$. Ist die Substitution $[x:=t]$ für die $\sum$-Formel $\varphi$ zulässig, so gilt $A\Vdash_p\varphi[x:=t]\Leftrightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow\rho(t)]}\varphi$.}
Beweis: Induktion über den Aufbau der Formel $\varphi$ (mit $\rho'=\rho[x\rightarrow\rho(t)])$:
Wir haben Regeln des natürlichen Schließens für aussagenlogische Formeln untersucht und für gut befunden. Man kann sie natürlich auch für prädikatenlogische Formeln anwenden.
Beispiel: Für alle $\sum$-Formel $\varphi$ und $\psi$ gibt es eine Deduktion mit Hypothesen in $\{\lnot\varphi\wedge\lnot\psi\}$ und Konklusion $\lnot(\varphi\vee\psi)$: %\includegraphics[width=\linewidth]{Assets/Logik-deduktion-konklusion.png)
\subsection{Korrektheit}
Können wir durch mathematische Beweise zu falschen Aussagen kommen? Können wir durch das natürliche Schließen zu falschen Aussagen kommen? Existiert eine Menge $\Gamma$ von $\sum$-Formeln und eine $\sum$-Formel $\varphi$ mit $\Gamma\vdash\varphi$ und
$\Gamma\not\Vdash\varphi$?
Frage: Gilt $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\Vdash\varphi$ bzw. $\varphi$ ist Theorem $\Rightarrow\varphi$ ist allgemeingültig?
Der Beweis des Korrektheitslemmas für das natürliche Schließen kann ohne große Schwierigkeiten erweitert werden. Man erhält
\note{Lemma V0}{Sei $\sum$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik verwendet. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Umgekehrt ist nicht zu erwarten, dass aus $\Gamma\Vdash\varphi$ folgt, dass es eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$ gibt, denn die bisher untersuchten Regeln erlauben keine Behandlung von $=,\forall$ bzw. $\exists$. Solche Regeln werden wir jetzt einführen.
Zunächst kümmern wir uns um Atomformeln der Form $t_1=t_2$. Hierfür gibt es die zwei Regeln $(R)$ und $(GfG)$:
\note{Reflexivität (ausführlich)}{Für jeden Term $t$ ist $\frac{}{t=t}$ eine hypothesenlose Deduktion mit Konklusion $t=t$.
\note{Gleiches-für-Gleiches in mathematischen Beweisen}{
,,Zunächst zeige ich, dass $s$ die Eigenschaft $\varphi$ hat:...
Jetzt zeige ich $s=t$:...
Also haben wir gezeigt, dass $t$ die Eigenschaft $\varphi$ hat. qed''}
\note{Gleiches-für-Gleiches (ausführlich)}{Seien $s$ und $t$ Terme und $\varphi$ Formel, so dass die Substitutionen $[x:=s]$ und $[x:=t]$ für $\varphi$ zulässig sind. Sind $D$ und $E$ Deduktionen mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusionen $\varphi[x:=s]$ bzw. $s=t$, so ist das folgende eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi[x:=t]$:
Bedingung: über keine Variable aus $s$ oder $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert
Die folgenden Beispiele zeigen, dass wir bereits jetzt die üblichen Eigenschaften der Gleichheit (Symmetrie, Transitivität, Einsetzen) folgern können.
Beispiel: Seien $x$ Variable, $s$ Term ohne $x$ und $\varphi=(x=s)$.
\begin{itemize*}
\item Da $\varphi$ quantorenfrei ist, sind die Substitutionen $[x:=s]$ und $[x:=t]$ für $\varphi$ zulässig.
\item Außerdem gelten $\varphi[x:=s]=(s=s)$ und $\varphi[x:=t]=(t=s)$.
\item Also ist das folgende eine Deduktion: %\includegraphics[width=\linewidth]{Assets/Logik-deduktion-beispiel.png)
\item Für alle Termesundthaben wir also $\{s=t\}\vdash t=s$.
\end{itemize*}
Beispiel: Seien $x$ Variable, $r,s$ und $t$ Terme ohne $x$ und $\varphi=(r=x)$.
\begin{itemize*}
\item Da $\varphi$ quantorenfrei ist, sind die Substitutionen $[x:=s]$ und $[x:=t]$ für $\varphi$ zulässig.
\item Außerdem gelten $\varphi[x:=s]=(r=s)$ und $\varphi[x:=t]=(r=t)$.
\item Also ist das folgende eine Deduktion: %\includegraphics[width=\linewidth]{Assets/Logik-deduktion-beispiel-2.png)
\item Für alle Terme $r,s$ und $t$ haben wir also $\{r=s,s=t\}\vdash r=t$.
\end{itemize*}
Beispiel: Seien $x$ Variable, $s$ und $t$ Terme ohne $x$,$f$ einstelliges Funktionssymbol und $\varphi=(f(s)=f(x))$.
\begin{itemize*}
\item Da $\varphi$ quatorenfrei ist, sind die Substitutionen $[x:=s]$ und $[x:=t]$ für $\varphi$ zulässig.
\item Außerdem gelten $\varphi[x:=s]=(f(s)=f(s))$ und $\varphi[x:=t]=(f(s)=f(t))$.
\item Also ist das folgende eine Deduktion: %\includegraphics[width=\linewidth]{Assets/Logik-deduktion-beispiel-3.png)
\end{itemize*}
\note{Lemma V1}{Sei $\sum$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, $(R)$ und $(GfG)$ verwendet. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beweis: Wir erweitern den Beweis des Korrektheitslemmas bzw. des Lemmas V0, der Induktion über die Größe der Deduktion $D$ verwendete.
\begin{itemize*}
\item Wir betrachten nur den Fall, dass $D$ die folgende Form hat: %\includegraphics[width=\linewidth]{Assets/Logik-lemma-v1-beweis.png)
\item Da dies Deduktion ist, sind die Substitutionen $[x:=s]$ und $[x:=t]$ für $\varphi$
zulässig, d.h. in $\varphi$ wird über keine Variable aus $s$ oder $t$ quantifiziert.
\item$E$ und $F$ kleinere Deduktionen $\Rightarrow\Gamma\Vdash\varphi[x:=s]$ und $\Gamma\Vdash s=t$
\item Seien A $\sum$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation mit $A\Vdash_p\gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$.
\begin{itemize*}
\item$\Rightarrow A\Vdash_p\varphi[x:=s]$ und $A\Vdash_p s=t$
\item$\Rightarrow A\Vdash_{p[x\rightarrow\rho(s)]}\varphi$ und $\rho(s)=\rho(t)$
\item Da $A$ und $\rho$ beliebig waren mit $A\Vdash_p\gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$ haben wir $\Gamma\Vdash\varphi[x:=t]$ gezeigt.
\end{itemize*}
\subsubsection{$\forall$ in math. Beweisen}
Ein mathematischer Beweis einer Aussage "für alle $x$ gilt $\varphi$" sieht üblicherweise so aus:
"Sei $x$ beliebig, aber fest. Jetzt zeige ich $\varphi$ (hier steckt die eigentliche Arbeit). Da $x$ beliebig war, haben wird "für alle $x$ gilt $\varphi$" gezeigt. qed"
\note{$\forall$ -Einführung}{ Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$ und sei $x$ eine Variable, die in keiner Formel aus $\Gamma$ frei vorkommt. Dann ist das folgende eine Deduktion
mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\forall x\varphi: \frac{\phi}{\forall x\varphi}$
Bedingung: $x$ kommt in keiner Hypothese frei vor}
\note{Lemma V2}{Sei $\sum$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, (R), (GfG) und ($\forall$ -I) verwendet. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beweis: Betrachte die folgende Deduktion $D$
\begin{itemize*}
\item Insbesondere ist $x$ keine freie Variable einer Formel aus $\Gamma$ und es gilt nach IV $\Gamma\Vdash\varphi$
\item Sei nun $A$$\sum$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation mit $A\Vdash_p y$ für alle $y\in\Gamma$.
\item Zu zeigen ist $A\Vdash_p \forall x\varphi$:
\begin{itemize*}
\item Sei also $a\in U_A$ beliebig.
\item$\Rightarrow$ für alle $y\in\Gamma$ gilt $A\Vdash_{p[x\rightarrow a]} y$ da $x\not\in FV(y)$ und $A\Vdash_p y$
\item Da $a\in U_A$ beliebig war, haben wir $A\Vdash_\rho\forall x\varphi$ gezeigt
\end{itemize*}
\item Da $A$ und $\rho$ beliebig waren mit $A\Vdash_\rho\Gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$ haben wir also $\Gamma\Vdash\forall x\varphi$ gezeigt.
\end{itemize*}
\subsubsection{$\forall$ -Elimination in math. Beweisen}
Ein mathematischer Beweis einer Aussage "t erfüllt $\varphi$" kann so aussehen:
"Zunächst zeige ich $\forall x\varphi$ (hier steckt die eigentliche Arbeit). Damit erfüllt insbesondere $t$ die Aussage$\varphi$ , d.h., wir haben "$t$ erfüllt $\varphi$" gezeigt. qed"
\note{$\forall$ -Elimination}{Sei $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\forall x\varphi$ und seit Term, so dass Substitution [x:=t] für $\varphi$ zulässig ist.
Dann ist das folgende eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi[x:=t]:\frac{\forall x\varphi}{\varphi[x:=t]}$
Bedingung: über keine Variable aus $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert}
\note{Lemma V3}{ Sei $\sum$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, (R), (GfG), ($\forall$-I) und ($\forall$-E) verwendet. > Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beweis: Analog zum Beweis von Lemma V2.
\subsubsection{$\exists$ in math. Beweisen}
Ein Beweis von "$\sigma$ gilt" kann so aussehen:
"Zunächst zeige ich $\exists x\varphi$ (hier steckt Arbeit). Jetzt zeige ich, dass $\sigma$ immer gilt, wenn$\varphi$ gilt (mehr Arbeit). Damit gilt $\sigma$. qed"
\note{$\exists$ -Elimination}{Sei $\Gamma$ eine Menge von Formeln, die die Variable $x$ nicht frei enthalten und enthalte die Formel $\sigma$ die Variabel $x$ nicht frei. Wenn $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\exists x\varphi$ und $E$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma\cup\{\varphi\}$ und Konklusion $\sigma$ ist, dann ist das folgende eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\sigma:\frac{\exists x\varphi\quad\quad\sigma}{\sigma}$
Bedingung: $x$ kommt in den Hypothesen und in $\sigma$ nicht frei vor.}
\note{Lemma V4}{Sei $\sigma$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sigma$ -Formel.
Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, (R), (GfG), ($\forall$-I), ($\forall$-E) und ($\exists$-E) verwendet. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beweis: Sei $D$ die folgende Deduktion
\begin{itemize*}
\item Insbesondere kommt $x$ in den Formeln aus $\Gamma\cup\{\sigma\}$ nicht frei vor. Außerdem gelten nach IV $\Gamma\Vdash\exists x\varphi$ und $\Gamma\cup\{\varphi\}\Vdash\sigma$.
\item Sei nun $A$$\sigma$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation mit $A\Vdash_\rho\Gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$.
\item Zu zeigen ist $A\Vdash_\rho\sigma$:
\begin{itemize*}
\item Wegen $A\Vdash_\rho\exists x\varphi$ existiert $a\in U_A$ mit $A\Vdash_{\rho[x\rightarrow a]}\varphi$.
\item$x$ kommt in Formeln aus $\Gamma$ nicht frei vor $\Rightarrow A\Vdash_{\rho[x\rightarrow a]}\gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$.
\item Aus $\Gamma\cup\{\varphi\}\Vdash\sigma$ folgt $A\Vdash_{\rho[x\rightarrow a]}\sigma$.
\item Da $x\not\in FV(\sigma)$ erhalten wir $A\Vdash_\rho\sigma$.
\end{itemize*}
\item Da $A$ und $\rho$ beliebig waren mit $A\Vdash_\rho\gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$ haben wir also $\Gamma\Vdash\sigma$ gezeigt.
\end{itemize*}
\subsubsection{$\exists$ -Einführung in math. Beweisen}
Ein mathematischer Beweis einer Aussage "es gibt ein $x$, das $\varphi$ erfüllt" sieht üblicherweise so aus: "betrachte dieses $t$ (hier ist Kreativität gefragt). Jetzt zeige ich, daß $t\varphi$ erfüllt (u.U. harte Arbeit). Also haben wir "es gibt ein $x$, das $\varphi$ erfüllt" gezeigt. qed"
\note{$\exists$ -Einführung}{Sei die Substitution $[x:=t]$ für die Formel $\varphi$ zulässig.
Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi[x:=t]$.
Dann ist das folgende eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\exists x\varphi:\frac{\varphi[x:=t]}{\exists x\varphi}$
Bedingung: über keine Variable in $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert}
\note{Korrektheitslemma für das natürliche Schließen in der Prädikatenlogik}{
Sei $\sigma$ eine Signatur, $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sigma$ -Formel.
Sei weiter $D$ eine Deduktion mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$, die die Regeln des natürlichen Schließens der Aussagenlogik, (R), (GfG), ($\forall$-I), ($\forall$-E), ($\exists$ -E) und ($\exists$ -I) verwendet. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beweis: analog zu obigen Beweisen.
\subsubsection{Regeln des natürlichen Schließens (Erweiterung)}
\begin{itemize*}
\item ($R$): $\frac{}{t=t}$
\item (GfG): $\frac{\varphi[x:=s]\quad\quad s=t}{\varphi[x:=t]}$ (über keine Variable aus $s$ oder $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert)
\item ($\forall$-I): $\frac{\varphi}{\forall x\varphi}$ (x nicht frei in Hypothesen)
\item ($\forall$-E): $\frac{\forall x\varphi}{\varphi[x:=t]}$ (über keine Variable aus $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert)
\item ($\exists$-I): $\frac{\varphi[x:=t]}{\exists x\varphi}$ (über keine Variable aus $t$ wird in $\varphi$ quantifiziert)
\item ($\exists$-I): $\frac{\exists x\varphi\quad\quad\sigma}{\sigma}$ ($x$ kommt in Hypothesen und $\sigma$ nicht frei vor)
\end{itemize*}
\note{Definition}{Für eine Menge $\Gamma$ von $\sum$-Formeln und eine $\sum$-Formel $\varphi$ schreiben wir $\Gamma\vdash\varphi$ wenn es eine Deduktion gibt mit Hypothesen in $\Gamma$ und Konklusion $\varphi$. Wir sagen "$\varphi$ ist eine syntaktische Folgerung von $\Gamma$".
Eine Formel $\varphi$ ist ein Theorem, wenn $\varnothing\vdash\varphi$ gilt.}
Bemerkung: $\Gamma\vdash\varphi$ sagt (zunächst) nichts über den Inhalt der Formeln in $\Gamma\cup\{\varphi\}$ aus, sondern nur über den Fakt, dass $\varphi$ mithilfe des natürlichen Schließens aus den Formeln aus $\Gamma$ hergeleitet werden kann.
Ebenso sagt "$\varphi$ ist Theorem" nur, dass $\varphi$ abgeleitet werden kann, über "Wahrheit" sagt dieser Begriff (zunächst) nichts aus.
Wir haben aber "en passant" das folgende gezeigt:
\note{Korrektheitssatz}{Für eine Menge von $\sum$-Formeln $\Gamma$ und eine $\sum$-Formel $\varphi$ gilt $\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\Vdash\varphi$.}
Beispiel: Seien $\varphi$ Formel und $x$ Variable. Dann gelten $\{\lnot\exists x\varphi\}\Vdash\forall x\lnot\varphi$ und $\{\forall x\lnot\varphi\}\Vdash\lnot\exists x\varphi$.
\note{Definition}{Eine Menge $\Delta$ von Formeln hat Konkretisierungen, wenn für alle $\exists x\varphi\in\Delta$ ein variablenloser Term $t$ existiert mit $\varphi[x:=t]\in\Delta$.}
\note{Satz}{Sei $\Delta$ eine maximal konsistente Menge von $\sum$-Formeln. Dann existiert eine Signatur $\sum^+\supseteq\sum$ und eine maximal konsistente Menge von $\sum^+$-Formeln mit Konkretisierungen, so dass $\Delta\subseteq\Delta^+$.}
Beweis: Wir konstruieren induktiv Signaturen $\sum_n$, maximal konsistente Menge von $\sum_n$-Formeln $\Delta_n$ und konsistente Mengen von $\sum_{n+1}$-Formeln $\Delta'_{n+1}$ mit
\begin{itemize*}
\item$\sum=\sum_0\subseteq\sum_1\subseteq\sum_2...$ und
\item$\sum^+=\bigcup_{n\geq0}\sum_n$ und $\Delta^+=\bigcup_{n\geq0}\Delta_n$
\end{itemize*}
\begin{enumerate*}
\item IA: $\sum_0 :=\sum$ , $\Delta_0:=\Delta$
\item IV: Sei $n\geq0$ und $\Delta_n$ maximal konsistente Menge von $\sum_n$-Formeln. $\psi=\exists x\varphi$, ein "neues" Konstantensymbol $c_{\psi}$
\item IS: $\sum_{n+1}$: alle Symbole aus $\sum_n$ und, für jede Formel $\psi\in\Delta_n$ der Form $\Delta'_{n+1}:=\Delta_n\cup\{\varphi[x:=c_{\psi}]|\psi=\exists x\varphi\in\Delta_n\}$
\begin{itemize*}
\item ohne Beweis: $\Delta'_{n+1}$ ist konsistent
\item Idee: Ist $\varphi$$\sum_n$-Formel mit $\Delta'_{n+1}\vdash\varphi$, so gilt $\Delta_n\vdash\varphi$.
\item Konsistenz von $\Delta'_{n+1}$ folgt mit $\varphi=\bot$
\item Analog zum Satz aus Vorlesung 4 existiert $\Delta_{n+1}\supseteq\Delta'_{n+1}$ maximal konsistent
\end{itemize*}
\begin{itemize*}
\item Damit ist die Konstruktion der Signaturen $\sum_n$ und der maximal konsistenten Mengen $\Delta_n$ von $\sum_n$-Formeln abgeschlossen.
\item noch z.z.: $\Delta^+$ hat Konkretisierungen und ist maximal konsistent
\begin{itemize*}
\item$\Delta^+$ hat Konkretisierungen: Sei $\psi=\exists x\varphi\in\Delta^+$
\begin{itemize*}
\item$\Rightarrow$ es gibt $n\geq0$ mit $\psi\in\Delta_n$
\item Also $\varphi,\lnot\varphi\in\Gamma$, im Widerspruch zur Konsistenz von $\Gamma$.
\end{itemize*}
\end{itemize*}
\end{itemize*}
\end{enumerate*}
\note{Satz}{Sei $\Delta^+$ maximal konsistente Menge von $\sum^+$-Formeln mit Konkretisierungen. Dann ist $\Delta^+$ erfüllbar.}
Beweisidee: Sei $T$ die Menge der variablenlosen $\sum^+$-Terme. Auf $T$ definieren wir eine Äquivalenzrelation $\sim$ durch $s\sim t\Leftrightarrow\Delta^+\vdash(s=t)\Leftrightarrow(s=t)\in\Delta^+$
Sei $A$ die folgende $\sum^+$-Struktur:
\begin{itemize*}
\item$U_A:=T/\sim$ ist die Menge der $\sim$-Äquivalenzklassen
\item$R^A=\{([t_1],...,[t_k])|t_1 ,...,t_k\in T,R(t_1,...,t_k)\in\Delta^+\}$ für alle Relationssymbole R aus $\sum^+$
\item$f^A([t_1],...,[t_k])=[f(t_1,...,t_k)]$ für alle $t_1,...,t_k\in T$ und alle Funktionssymbole $f$ aus $\sum^+$ (Bemerkung: dies ist wohldefiniert)
Dann gilt tatsächlich $A\Vdash\Delta^+$.
\end{itemize*}
\note{Satz: Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik }{Sei $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Dann gilt $\Gamma\Vdash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$.
Insbesondere ist jede allgemeingültige Formel ein Theorem.}
\item$\exists\Delta^+\supseteq\Delta$ maximal konsistent mit Konkretisierungen
\item$\Delta^+$ erfüllbar
\item$\Delta$ erfüllbar
\item$\Gamma\not\Vdash\varphi$
\end{itemize*}
Bemerkung
\begin{itemize*}
\item Dieser Satz ist (im wesentlichen) der berühmte Gödelsche Vollständigkeitssatz von 1930.
\item Der obige Beweis wurde von Leon Henkin 1949 veröffentlicht.
\end{itemize*}
Wir haben gleichzeitig gezeigt:
\note{Satz}{Sei $\Gamma$ höchstens abzählbar unendliche und konsistente Menge von Formeln. Dann hat $\Gamma$ ein höchstens abzählbar unendliches Modell.}
Beweis: $\Gamma$ konsistent heißt $\Gamma\not\vdash\bot$. Obiger Beweis gibt ein Modell $A$ von $\Gamma\cup\{\lnot\bot\}$ an. Wir zeigen, dass diese Struktur $A$ höchstens abzählbar unendlich ist:
\begin{itemize*}
\item Sei $\sum$ Signatur der Relations- und Funktionssymbole aus $\Gamma$.
\item$\Rightarrow A$ hat $\leq\mathbb{N}_0$ viele Elemente
\item$\Rightarrow\Gamma\cup\{\lnot\bot\}$ hat ein höchstens abzählbar unendliches Modell
\item$\Rightarrow\Gamma$ hat ein höchstens abzählbar unendliches Modell
\end{itemize*}
\subsection{Vollständigkeit und Korrektheit für die Prädikatenlogik}
\note{Satz}{Seien $\Gamma$ eine Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel. Dann gilt $\Gamma\vdash\varphi\Leftrightarrow\Gamma\Vdash\varphi$.
Insbesondere ist eine $\sum$-Formel genau dann allgemeingültig, wenn sie ein Theorem ist.}
Beweis: Folgt unmittelbar aus Korrektheitssatz und Vollständigkeitssatz.
\subsubsection{Folgerung 1: Kompaktheit}
\note{Satz}{Seien $\Gamma$ eine u.U. unendliche Menge von $\sum$-Formeln und $\varphi$ eine $\sum$-Formel mit $\Gamma\Vdash\varphi$. Dann existiert $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich mit $\Gamma'\Vdash\varphi$.}
Beweis: $\Gamma\Vdash\varphi$
\begin{itemize*}
\item$\Gamma\vdash\varphi$ (nach dem Vollständigkeitssatz)
\item es gibt Deduktion von $\varphi$ mit Hypothesen $\gamma_1,...,\gamma_n\in\Gamma$
\item$\Gamma'=\{\gamma_1,...,\gamma_n\}\subseteq\Gamma$ endlich mit $\Gamma'\vdash\varphi$
\item$\Gamma'\vdash\varphi$ (nach dem Korrektheitssatz).
\end{itemize*}
\note{Folgerung (Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz)}{Sei $\Gamma$ eine u.U. unendliche Menge von $\sum$-Formeln. Dann gilt $\Gamma$ erfüllbar $\Leftrightarrow\forall\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'$ erfüllbar}
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'\Vdash\bot$
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'\cup\{\lnot\bot\}$ unerfüllbar
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich: $\Gamma'$ unerfüllbar
\end{itemize*}
\note{Satz}{Sei $\Delta$ eine u.U. unendliche Menge von $\sum$-Formeln, so dass für jedes $n\in\mathbb{N}$ eine endliche Struktur $A_n$ mit $A_\Vdash\Delta$ existiert, die wenigstens $n$ Elemente hat.
Dann existiert eine unendliche Struktur $A$ mit $A\Vdash\Delta$.}
\item und $\Gamma=\Delta\cup\{\varphi_n | n\geq0\}$.
\item Für $\Gamma'\subseteq\Gamma$ endlich existiert $n\in\mathbb{N}$ mit $\varphi_m\not\in\Gamma'$ für alle $m\geq n$
\item$\Rightarrow A_n\Vdash\Gamma'$, d.h. jede endliche Teilmenge von $\Gamma$ ist erfüllbar.
\item$\Rightarrow$ es gibt Struktur $A$ mit $A\Vdash\Gamma$
\item$\Rightarrow$ A hat $\geq n$ Elemente (für alle $n\in\mathbb{N}$)
\end{itemize*}
\subsubsection{Folgerung 2: Löwenheim-Skolem}
Frage: Gibt es eine Menge $\Gamma$ von $\sum$-Formeln, so dass für alle Strukturen $A$ gilt: $A\Vdash\Gamma\Leftrightarrow A\cong(\mathbb{R},+,*, 0 , 1)$?
\note{Satz von Löwenheim-Skolem}{Sei $\Gamma$ erfüllbare und höchstens abzählbar unendliche Menge von $\sum$-Formeln. Dann existiert ein höchstens abzählbar unendliches Modell von $\Gamma$.}
\note{Satz}{Die Menge der allgemeingültigen $\sum$-Formeln ist semi-entscheidbar.}
Beweis:Sei$\varphi$$\sum$-Formel. Dann gilt
\begin{itemize*}
\item$\varphi$ allgemeingültig
\item$\Leftrightarrow\varphi$ Theorem
\item$\Leftrightarrow$ Es gibt hypothesenlose Deduktion mit Konklusion $\varphi$
\end{itemize*}
Ein Semi-Entscheidungsalgorithmus kann also folgendermaßen vorgehen:
Teste für jede Zeichenkette $w$ nacheinander, ob sie hypothesenlose Deduktion mit Konklusion $\varphi$ ist. Wenn ja, so gib aus "$\varphi$ ist allgemeingültig". Ansonsten gehe zur nächsten Zeichenkette über.
\subsubsection{Der Satz von Church}
Jetzt zeigen wir, daß dieses Ergebnis nicht verbessert werden kann: Die Menge der allgemeingültigen $\sum$-Formeln ist nicht entscheidbar.
Wegen $\varphi$ allgemeingültig $\Leftrightarrow\lnot\varphi$ unerfüllbar reicht es zu zeigen, dass die Menge der erfüllbaren Sätze nicht entscheidbar ist.
Genauer zeigen wir dies sogar für "Horn-Formeln":
\note{Definition}{Eine Horn-Formel ist eine Konjunktion von $\sum$-Formeln der Form $\forall x_1\forall x_2 ...\forall x_n((\lnot\bot\wedge\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge...\wedge\alpha_m)\rightarrow\beta)$, wobei $\alpha_1,...,\alpha_m$ und $\beta$ atomare $\sum$-Formeln sind.}
Unser Beweis reduziert die unentscheidbare Menge PCP auf die Menge der erfüllbaren Horn-Formeln.
Im folgenden sei also $I=((u_1,v_1),(u_2,v_2),...,(u_k,v_k))$ ein Korrespondenzsystem und $A$ das zugrundeliegende Alphabet.
Hieraus berechnen wir eine Horn-Formel $\varphi_I$, die genau dann erfüllbar ist, wenn $I$ keine Lösung hat.
Wir betrachten die Signatur $\sum=(\Omega,Rel,ar)$ mit
\begin{itemize*}
\item$\Omega=\{e\}\cup\{f_a|a\in A\}$ mit $ar(e)=0$ und $ar(f_a)=1$ für alle $a\in A$.
\item$Rel=\{R\}$ mit $ar(R)=2$.
\end{itemize*}
Zur Abkürzung schreiben wir $f_{a_1 a_2 ...a_n}(x)$ für $f_{a_1}(f_{a_2}(...(f_{a_n}(x))...))$ für alle $a_1,a_2,...,a_n\in A$ und $n\geq0$ (insbes. steht $f_{\epsilon}(x)$ für $x$).
Zunächst betrachten wir die folgende Horn-Formel $\psi_I$:
\note{Lemma}{Angenommen, das Korrespondenzsystem $I$ hat keine Lösung. Dann ist die Horn-Formel $\varphi_I=\psi_I \wedge\forall x(R(x,x)\rightarrow x=e)$ erfüllbar.}
Beweis: Sei $A$ die obige Struktur mit $A\Vdash\psi_I$.
\begin{itemize*}
\item Um $A\Vdash\forall x(R(x,x)\rightarrow x=e)$ zu zeigen, sei $w\in U_A$ beliebig mit $(w,w)\in R^A$.
\item Die Definition von $R^A$ sichert die Existenz von $n\geq0$ und $1\leq i_1,i_2,...,i_n\leq k$ mit $u_{i1} u_{i2}...u_{in}=w=v_{i1} v_{i2} ...v_{in}$.
\item Da $I$ keine Lösung hat, folgt $n=0$ und damit $w=\epsilon$.
\end{itemize*}
\note{Lemma}{Sei $B$ Struktur mit $B\Vdash\psi_I$. Dann gilt $(f_{u_{i_1} u_{i_2} ...u_{i_n}}^B (e^B),f_{v_{i_1} v_{i_2}...v_{i_n}}^B(e^B))\in R^B$ für alle $n\geq0, 1\leq i_1,i_2,...,i_n \leq k$.}
Beweis: per Induktion über $n\geq0$.
\begin{itemize*}
\item IA: für $n=0$ gelten $f_{u_{i_1} u_{i_2} ...u_{i_n}}^B(e^B)=e^B$ und $f_{v_{i_1} v_{i_2}...v_{i_n}}^B(e^B)=e^B$
\begin{itemize*}
\item und damit $(f_{u_{i_1} u_{i_2} ...u_{i_n}}^B(e^B), f_{v_{i_1} v_{i_2}...v_{i_n}}^B(e^B)\in R^B$
\item wegen $B\Vdash\psi_I$.
\end{itemize*}
\item IS: Seien $n>0$ und $1\leq i_1 ,i_2 ,...,i_n\leq k$.
\begin{itemize*}
\item Mit $u=u_{i2} u_{i3} ...u_{in}$ und $v=v_{i2} v_{i3} ...v_{in}$ gilt nach IV $(f_u^B(e^B),f_v^B(e^B))\in R^B$. Wegen $B\Vdash\psi_I$ folgt $f_{u_{i_1} u_{i_2} ...u_{i_n}}^B(e^B), f_{v_{i_1} v_{i_2}...v_{i_n}}^B(e^B)=(f_{u_{i1}}^B (f_u^B(e^B)),f_{v_{i1}}^B (f_v^B(e^B)))\in RB$.
\end{itemize*}
\end{itemize*}
\note{Lemma}{Angenommen, $(i_1,...,i_n)$ ist eine Lösung von $I$. Dann ist die $\sum$-Formel $\varphi_I$ unerfüllbar.}
\note{Satz}{Die Menge der unerfüllbaren Horn-Formeln ist nicht entscheidbar.}
Beweis: Die Abbildung $I\rightarrow\varphi_I$ ist berechenbar.
Nach den vorherigen Lemmata ist sie eine Reduktion von PCP auf die Menge der unerfüllbaren Horn-Formeln. Da PCP unentscheidbar ist (vgl. Automaten, Sprachen und Komplexität), ist die Menge der unerfüllbaren Horn-Formeln unentscheidbar.
\note{Folgerung (Church 1936)}{Die Menge der allgemeingültigen $\sum$-Formeln ist nicht entscheidbar.}
Beweis: Eine $\sum$-Formel $\varphi$ ist genau dann unerfüllbar, wenn $\lnot\varphi$ allgemeingültig ist. Also ist $\varphi\rightarrow\lnot\varphi$ eine Reduktion der unentscheidbaren Menge der unerfüllbaren $\sum$-Formeln auf die Menge der allgemeingültigen $\sum$-Formeln, die damit auch unentscheidbar ist.
Allgemeingültige $\sum$-Formeln gelten in allen Strukturen. Was passiert, wenn wir uns nur auf "interessante" StrukturenAeinschränken (z.B. auf eine konkrete), d.h. wenn wir die Theorie $Th(A)$ von $A$ betrachten?
\subsection{Theorie der natürlichen Zahlen}
\note{Definition}{Sei $A$ eine Struktur. Dann ist $Th(A)$ die Menge der prädikatenlogischen $\sum$-Formeln $\varphi$ mit $A\Vdash\varphi$. Diese Menge heißt die(elementare) Theorie von $A$.}
Beispiel: Sei $N=(N,\leq,+,*, 0 , 1)$. Dann gelten
\begin{itemize*}
\item$(\forall x\forall y:x+y=y+x)\in Th(N)$
\item$(\forall x\exists y:x+y=0)\not\in Th(N)$
\item aber $(\forall x\exists y:x+y=0)\in Th((Z,+, 0))$.
\end{itemize*}
\note{Lemma}{Die Menge $Th(N)$ aller Sätze $\varphi$ mit $N\Vdash\varphi$ ist nicht entscheidbar.}
\note{Zahlentheoretisches Lemma}{Für alle $n\in N,x_0,x_1,...,x_n\in N$ existieren $c,d\in N$, so dass für alle $0\leq i\leq n$ gilt: $x_i=c\ mod (1+d*(i+1))$.}
Beweis:Setze $m= max\{n,x_0,x_1 ,...,x_n\}$ und $d=2*3*4...(m+1)$. Dann sind die Zahlen $1+d, 1+d*2,..., 1+d*(n+1)$ paarweise teilerfremd. Nach dem Chinesischen Restsatz folgt die Existenz
einer natürlichen Zahl $c$.
Bemerkung: Es gibt $\sum$-Formeln
\begin{itemize*}
\item$mod(x_1,x_2 ,y)$ mit $N\Vdash_{\alpha} mod \Leftrightarrow\alpha(x_1) mod\alpha(x_2)=\alpha(y)$.
\item$\gamma(x_1 ,x_2 ,x_3 ,y)$ mit $N\Vdash_{\alpha}\gamma\Leftrightarrow\alpha(x_1) mod(1+\alpha(x_2)*(\alpha(x3)+1))=\alpha(y)$.
\end{itemize*}
\note{Satz}{Sei $A$ eine Struktur, so dass $Th(A)$ semi-entscheidbar ist. Dann ist $Th(A)$ entscheidbar.}
\note{Korollar}{Die Menge $TH(N)$ der Aussagen $\varphi$ mit $N\Vdash\varphi$ ist nicht semi-entscheidbar.}
\note{Korollar (1. Gödelscher Unvollständigkeitssatz)}{Sei $Gamma$ eine semi-entscheidbare Menge von Sätzen mit $N\Vdash\gamma$ für alle $\gamma\in\Gamma$. Dann existiert ein Satz $\varphi$ mit $\Gamma\not\vdash\varphi$ und $\Gamma\not\vdash\lnot\varphi$ (d.h. "$\Gamma$ ist nicht vollständig").}
\subsection{2. Semi Entscheidungsverfahren für allgemeingültige Formeln}
Jetzt alternatives Verfahren, das auf den Endlichkeitssatz der Aussagenlogik zurückgreift:
\begin{itemize*}
\item Berechne aus $\sum$-Formel $\psi$ eine Menge E von aussagenlogischen Formeln mit $E$ unerfüllbar $\Leftrightarrow\lnot\psi$ unerfüllbar $\Leftrightarrow\psi$ allgemeingültig
\item Suche endliche unerfüllbare Teilmenge $E'$ von $E$
\end{itemize*}
Kern des Verfahrens ist es also, aus $\sum$-Formel $\varphi$ eine Menge $E$ aussagenlogischer Formeln zu berechnen mit $\varphi$ unerfüllbar $\Leftrightarrow$ E unerfüllbar.
Hierzu werden wir die Formel $\varphi$ zunächst in zwei Schritten (Gleichungsfreiheit und Skolem-Form) vereinfachen, wobei die Formel erfüllbar bzw unerfüllbar bleiben muss.
\note{Definition}{Zwei $\sum$-Formeln $\varphi$ und $\psi$ heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn gilt: $\varphi$ ist erfüllbar $\Leftrightarrow\psi$ ist erfüllbar}
Unsere Vereinfachungen müssen also erfüllbarkeitsäquivalente Formeln liefern.
\subsubsection{Elimination von Gleichungen}
\note{Definition}{Eine $\sum$-Formel ist gleichungsfrei, wenn sie keine Teilformel der Form $s=t$ enthält. }
Ziel: aus einer $\sum$ Formel $\varphi$ soll eine erfüllbarkeitsäquivalente gleichungsfreue Formel $\varphi'$ berechnet werden
Bemerkung: Man kann i.a. keine äquivalente gleichungsfreie Formel $\varphi'$ angeben, da es eine solche z.B. zu $\varphi=(\forall x\forall y:x=y)$ nicht gibt.
Idee: Die Formel $\varphi'$ entsteht aus $\varphi$, indem alle Teilformeln der Form $x=y$ durch $GI(x,y)$ ersetzt werden, wobei $GI$ ein neues Relationssymbol ist.
Notationen
\begin{itemize*}
\item Sei $\sum=(\Omega,Rel,ar)$ endliche Signatur und $\varphi$$\sum$-Formel
\item$\sum_{GI}=(\Omega, Rel\bigcup^+\{GI\},ar_{GI})$ mit $ar_{GI}(f)$ für alle $f\in\Omega\cup Rel$ und $ar_{GI}(GI)=2$
\item Für eine $\sum$-Formel $\varphi$ bezeichnet $\varphi_{GI}$ die $\sum_{GI}$-Formel, die aus $\varphi$ entsthet, indem alle Vorkommen und Teilformen $s=t$ durch $GI(s,t)$ ersetzt werden.
Behauptung: es gilt nicht $\varphi$ erfüllbar $\Leftarrow\varphi_{GI}$ erfüllbar
\note{Definition}{Sei A eine $\sum$-Struktur und $\sim$ eine binäre Relation auf $U_A$. Die Relation $\sim$ heißt Kongruenz auf A, wenn gilt:
\begin{itemize*}
\item$\sim$ ist eine Äquivalentrelation (d.h. reflexiv, transitiv und symmetrisch)
\item für alle $f\in\Omega$ mit $k=ar(f)$ und alle $a_1,b_1,...,a_k,b_k\in U_A$ gilt $a_1\sim b_1,a_2\sim b_2,...,a_k\sim b_k\Rightarrow f^A(a_1,...,a_k)\sim f^A(b_1,...,b_k)$
\item für alle $R\in Rel$ mit $k=ar(R)$ und alle $a_1,b_1,...,a_k,b_k\in U_A$ gilt $a_1\sim b_1,...,a_k\sim b_k,(a_1,...,a_k)\in R^A\Rightarrow(b_1,...,b_k)\in R^A$.
\end{itemize*}
}
\note{Definition}{Sei $A$ eine $\sum$-Struktur und $\sim$ eine Kongruenz auf A.
\begin{enumerate*}
\item Für $a\in U_A$ sei $[a]=\{b\in U_A|a\sim b\}$ die Äquivalenzklasse von a bzgl $\sim$.
\item Dann definieren wir den Quotienten $B=A\backslash\sim$ von $A$ bzgl $\sim$ wie folgt:
\begin{itemize*}
\item$U_B=U_A\backslash\sim=\{[a]|a\in U_A\}$
\item Für jedes $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und alle $a_1,...,a_k\in U_A$ setzten wir $f^B([a_1],...,[a_k])=[f^A(a_1,...,a_k)]$
\item für jede $R\in Rel$ mit $ar(R)=k$ setzten wir $R^B=\{([a_1],[a_2],...,[a_k])|(a_1,...,a_k)\in R^A\}$
\end{itemize*}
\item Sei $p:Var\rightarrow U_A$ Variableninterpretation. Dann definieren die Variableninterpretation $p\backslash\sim: Var\rightarrow U_B:x\rightarrow[p(x)]$.
\note{Lemma 1}{Sei A Struktur, $p:Var\rightarrow U_A$ Variableninterpretation und $\sim$ Kongruenz. Seien weiter $B=A\backslash\sim$ und $p_B=p\backslash\sim$. Dann gilt für jeden Term $:[p(t)]=p_B(t)$}
Beweis: per Induktion über den Aufbau des Terms t
\note{Lemma 2}{Sei $A$$\sum$-Struktur, $\sim$ Kongruenz und $B=A\backslash\sim$. Dann gilt für alle $R\in Rel$ mit $k=ar(R)$ und alle $c_1,...,c_k\in U_A$: $([c_1],[c_2],...,[c_k])\in R^B\Leftrightarrow(c_1,c_2,...,c_k)\in R^A$}
\note{Satz}{Seien $A$$\sum_{GI}$-Struktur und $p:Var\rightarrow U_A$ Variableninterpretation, so dass $\sim=GI^A$ Kongruenz auf A ist.
Seien $B=A\backslash\sim$ und $p_B=p\backslash\sim$.
Dann gilt für alle $\sum$-Formeln $\varphi: A\Vdash_p \varphi_{GI}\Leftrightarrow B\Vdash_{p_B}\varphi$
}
Beweis: per Induktion über den Aufbau der Formel $\varphi$
\note{Lemma}{Aus einer endlichen Signatur $\sum$ kann ein gleichungsfreuer Horn-Satz $Kong_{\sum}$ über $\sum_{GI}$ berechnet werden, so dass für alle $\sum_{GI}$-Strukturen $A$ gilt: $A\Vdash Kong_{\sum}\Leftrightarrow GI^A$ ist eine Kongruenz}
\note{Satz}{Aus einer endlichen Signatur $\sum$ und einer $\sum$-Formel $\varphi$ kann eine gleichungsfreie und erfüllbarkeitsäquivalente $\sum_{GI}$-Formel $\varphi'$ berechnet werden. Ist $\varphi$ Horn Formel, so ist auch $\varphi'$ Horn Formel.}
Beweis: Setzte $\varphi' =\varphi_{GI}\wedge Kong_{\sum}$ und zeige: $\varphi$ erfüllbar $\Leftrightarrow\varphi'$ erfüllbar.
\subsection{Skolemform}
Ziel: Jede $\sum$-Formel $\varphi$ ist erfüllbarkeitsäquivalent zu einer $\sum$'-Formel $\varphi'=\forall x_1\forall x_2 ...\forall x_k \psi$, wobei $\psi$ kein Quantoren enthält, $\varphi'$ heißt in Skolemform.
Bemerkung: Betrachte die Formel $\exists x\exists y E(x,y)$. Es gibt keine Formel in Skolemform, die hierzu äquivalent ist.
2 Schritte:
\begin{enumerate*}
\item Quantoren nach vorne (d.h. Pränexform)
\item Existenzquantoren eliminieren
\end{enumerate*}
\note{Definition}{Zwei $\sum$-Formeln $\varphi$ und $\psi$ sind äquivalent (kurz:$\varphi\equiv\psi$), wenn für alle $\sum$-Strukturen $A$ und alle Variableninterpretationen $\rho$ gilt: $A\Vdash_{\rho}\psi\Leftrightarrow A\Vdash_{\rho}\psi$.}
\note{Lemma}{Seien $Q\in\{\exists ,\forall\}$ und $\oplus\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftarrow\}$. Sei $\varphi=(Qx \alpha)\oplus\beta$ und sei $y$ eine Variable, die weder in $\alpha$ noch in $\beta$ vorkommt. Dann gilt $\varphi\equiv\begin{cases} Qy(\alpha[x:=y]\oplus\beta)\text{ falls }\oplus\in\{\wedge,\vee,\leftarrow\}\\\forall y(\alpha[x:=y]\rightarrow\beta)\text{ falls }\oplus=\rightarrow,Q=\exists\\\exists y(\alpha[x:=y]\rightarrow\beta)\text{ falls }\oplus=\rightarrow,Q=\forall\end{cases}$}
Notwendigkeit der Bedingung "$y$ kommt weder in $\alpha$ noch in $\beta$ vor":
\note{Lemma}{Seien $Q\in\{\exists,\forall\}$ und $\oplus\in\{\wedge,\vee,\rightarrow,\leftarrow\}$. Sei $\varphi=(Qx\alpha)\oplus\beta$ und sei $y$ eine Variable, die weder in $\alpha$ noch in $\beta$ vorkommt. Dann gilt $\varphi\equiv\begin{cases} Qy(\alpha[x:=y]\oplus\beta)\text{ falls }\oplus\in\{\wedge,\vee,\leftarrow\}\\\forall y(\alpha[x:=y]\rightarrow\beta)\text{ falls }\oplus=\rightarrow,Q=\exists\\\exists y(\alpha[x:=y]\rightarrow\beta)\text{ falls }\oplus=\rightarrow,Q=\forall\end{cases}$}
Beweis: (für den Fall $Q=\exists$ und $\oplus=\wedge$)
\begin{itemize*}
\item Seien $A$$\sum$-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation.
\item Für $a\in U_A$ setze $\rho_a:=\rho[y\rightarrow a]$.
\item Dann gilt $\rho_a[x\rightarrow\rho_a(y)](z)=\rho[x\rightarrow a](z)$ für alle $z\not=y$
\end{itemize*}
Wir erhalten also
\begin{itemize*}
\item$A\vdash_\rho(\exists x\alpha)\wedge\beta$
\item$\Leftrightarrow A\vdash_\rho(\exists x\alpha)$ und $A\vdash_\rho\beta$
\item$\Leftrightarrow$ (es gibt $a\in U_A$ mit $A\vdash_{\rho[x\rightarrow a]}\alpha$) und (es gilt $A\vdash_\rho\beta$)
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $a\in U_A$ mit ($A\vdash_{\rho[x\rightarrow a]}\alpha$ und $A\vdash_\rho\beta$)
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $a\in U_A$ mit
\begin{itemize*}
\item$A\vdash_{\rho_a[x\rightarrow\rho_a(y)]}\alpha$ (da $y$ in $\alpha$ nicht vorkommt)
\item$A\vdash_{\rho_a}\beta$ (da $y$ in $\beta$ nicht vorkommt)
\end{itemize*}
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $a\in U_A$ mit
\begin{itemize*}
\item$A\vdash_{\rho_a}\alpha[x:=y]$
\item$A\vdash_{\rho_a}\beta$
\end{itemize*}
\item$\Leftrightarrow$ es gibt $a\in U_A$ mit $A\vdash_{\rho[y\rightarrow a]}\alpha[x:=y]\wedge\beta$
\note{Satz}{Aus einer endlichen Signatur $\sum$ und einer $\sum$-Formel $\varphi$ kann eine äquivalente $\sum$-Formel $\varphi'=Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_k x_k \psi$ (mit $Q_i\in\{\exists,\forall\},\psi$ quantorenfrei und $x_i$ paarweise verschieden) berechnet werden. Eine Formel $\varphi'$ dieser Form heißt Pränexform.
Ist $\varphi$ gleichungsfrei, so ist auch $\varphi'$ gleichungsfrei.}
Beweis: Der Beweis erfolgt induktiv über den Aufbau von $\varphi$:
\begin{itemize*}
\item I.A. $\varphi$ ist atomare Formel: Setze $\varphi'=\varphi$.
\item I.S.
\begin{itemize*}
\item$\varphi=\lnot\psi$ : Nach I.V. kann Formel in Pränexform $\psi\equiv Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_m x_m \psi'$ berechnet werden. Mit $\forall=\exists$ und $\exists=\forall$ setze $\varphi'=Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_m x_m\lnot\psi'$.
\item$\varphi=\exists x\psi$: Nach I.V. kann Formel in Pränexform $\psi\equiv Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_m x_m \psi'$ berechnet werden. Setze $\varphi'=\begin{cases}\exists x Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_m x_m\psi'\text{ falls }x\not\in\{x_1,x_2,...,x_m\}\\ Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_m x_m\psi'\text{ sonst}\end{cases}$
\item$\varphi=\alpha\wedge\beta$: Nach I.V. können Formeln in Pränexform $\alpha\equiv Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_mx_m \alpha_0; \beta\equiv Q_1'y_1 Q_2'y_2 ...Q_n'y_n \beta_0$ berechnet werden.
\end{itemize*}
\end{itemize*}
Ziel: Berechnung einer erfüllbarkeitsäquivalenten Formel in Skolemform
Idee:
\begin{enumerate*}
\item wandle Formel in Pränexform um
\item eliminiere $\exists$-Quantoren durch Einführen neuer Funktionssymbole
\end{enumerate*}
Konstruktion: Sei $\varphi=\forall x_1\forall x_2...\forall x_m\exists y\psi$ Formel in Pränexform (u.U. enthält $\psi$ weitere Quantoren). Sei $g\not\in\Omega$ ein neues m-stelliges Funktionssymbol.
Offensichtlich hat $\varphi$'einen Existenzquantor weniger als $\varphi$. Außerdem ist $\varphi'$ keine $\sum$-Formel (denn sie verwendet $g\not\in\Omega$), sondern Formel über einer erweiterten Signatur.
\note{Lemma}{Die Formeln $\varphi$ und $\varphi'$ sind erfüllbarkeitsäquivalent.}
Beweis: "$\Leftarrow$" Sei $A'$ Struktur und $\rho'$ Variableninterpretation mit $A'\vdash_{\rho'}\varphi'$. Wir zeigen $A'\vdash_{\rho'}\varphi$. Hierzu seien $a_1,...,a_m\in U_{A'}$ beliebig.
\note{Satz}{Aus einer Formel $\varphi$ kann man eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel $\varphi$ in Skolemform berechnen. Ist $\varphi$ gleichungsfrei, so auch $\varphi$.}
Beweis: Es kann zu $\varphi$ äquivalente Formel $\varphi_0=Q_1 x_1 Q_2 x_2 ...Q_{\iota} x_{\iota}\psi$ in Pränexform berechnet werden (mit $n\leq{\iota}$ Existenzquantoren). Durch wiederholte Anwendung des vorherigen Lemmas erhält man Formeln $\varphi_1,\varphi_2,...\varphi_n$ mit
\begin{itemize*}
\item$\varphi_i$ und $\varphi_{i+1}$ sind erfüllbarkeitsäquivalent
\item$\varphi_{i+1}$ enthält einen Existenzquantor weniger als $\varphi_i$
\item$\varphi_{i+1}$ ist in Pränexform
\item ist $\varphi_i$ gleichungsfrei, so auch $\varphi_{i+1}$
\end{itemize*}
Dann ist $\bar{\varphi}=\varphi_n$ erfüllbarkeitsäquivalente (ggf. gleichungsfreie) Formel in Skolemform.
\subsection{Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle}
Sei $\sum=(\Omega,Rel,ar)$ eine Signatur. Wir nehmen im folgenden an, dass $\Omega$ wenigstens ein Konstantensymbol enthält.
Das Herbrand-Universum $D(\sum)$ ist die Menge aller variablenfreien $\sum$-Terme.
Beispiel: $\Omega=\{b,f\}$ mit $ar(b)=0$ und $ar(f)=1$. Dann gilt $D(\sum)=\{b,f(b),f(f(b)),f(f(f(b))),...\}$
Eine $\sum$-Struktur $A=(UA,(fA)f\in\Omega,(RA)R\in Rel)$ ist eine Herbrand-Struktur, falls folgendes gilt:
\begin{enumerate*}
\item$UA=D(\sum)$,
\item für alle $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und alle $t_1,t_2,...,t_k\in D(\sum)$ ist $f^A(t_1,t_2,...,t_k)=f(t_1,t_2,...,t_k)$.
\end{enumerate*}
Für jede Herbrand-Struktur $A$, alle Variableninterpretationen $\rho$ und alle variablenfreien Terme $t$ gilt dann $\rho(t)=t$.
Ein Herbrand-Modell von $\varphi$ ist eine Herbrand-Struktur, die gleichzeitig ein Modell von $\varphi$ ist.
\note{Satz}{Sei $\varphi$ eine gleichungsfreie Aussage in Skolemform. $\varphi$ ist genau dann erfüllbar, wenn $\varphi$ ein Herbrand-Modell besitzt.}
Beweis:
\begin{itemize*}
\item Falls $\varphi$ ein Herbrand-Modell hat, ist $\varphi$ natürlich erfüllbar.
\item Sei nun $\varphi=\forall y_1...\forall y_n\psi$ erfüllbar. Dann existieren eine $\sum$-Struktur $A=(U_A,(f^A)_{f\in\Omega},(R^A)_{R\in Rel})$ und eine Variableninterpretation $\rho$ mit $A\vdash_\rho\varphi$.
\end{itemize*}
\paragraph{Plan des Beweises}
Wir definieren eine Herbrand-Struktur $B=(D(\sum),(f^B)_{f\in\Omega},(R^B)_{R\in Rel})$:
\begin{itemize*}
\item Seien $f\in\Omega$ mit $ar(f)=k$ und $t_1,...,t_k\in D(\sum)$. Um eine Herbrand-Struktur $B$ zu konstruieren setzen wir $f^B(t_1,...,t_k)=f(t_1,...,t_k)$
\item Sei $R\in Rel$ mit $ar(R)=k$ und seien $t_1,...,t_k\in D(\sum)$. Dann setze $(t_1,...,t_k)\in RB:\Leftrightarrow(\rho(t_1),...,\rho(t_k))\in RA$.
\end{itemize*}
Sei $\rho_B:Var \rightarrow D(\sum)$ beliebige Variableninterpretation.
\paragraph{Behauptung 1: }
Ist $\psi$ eine quantoren- und gleichungsfreie Aussage, so gilt $A\vdash_{\rho}\psi\Leftrightarrow B\vdash_{\rho B}\psi$. Diese Behauptung wird induktiv über den Aufbau von $\psi$ gezeigt.
\paragraph{Intermezzo}
Behauptung 1 gilt nur für quantorenfreie Aussagen
$\sum=(\Omega,Rel,ar)$ mit $\Omega=\{a\},ar(a)=0$ und $Rel=\{E\},ar(E)=2$.
Betrachte die Formel $\varphi=\forall x(E(x,x)\wedge E(a,a))$ in Skolemform.
$A\vdash_\rho\varphi$ mit $U^A=\{a^A,m\}$ und $E^A=\{(m,m),(a^A,a^A)\}$.
Die konstruierte Herbrand-Struktur $B:U_B=D(\sum)=\{a\}$ und $E^B=\{(a,a)\}$.
Betrachte nun die Formel $\psi=\forall x,y E(x,y)$. Dann gilt $B\vdash_{\rho B}\psi$ und $A\not\vdash_\rho\psi$.
Für allgemeine Formeln in Skolemform (also u.U. mit Quantoren) können wir also Behauptung 1 nicht zeigen, sondern höchstens die folgende Abschwächung.
\paragraph{Behauptung 2:}
Ist $\psi$ eine gleichungsfreie Aussage in Skolemform, so gilt $A\vdash_\rho\psi\Rightarrow B\vdash_{\rho B}\psi$.
(hieraus folgt dann $B\vdash_{\rho B}\varphi$ wegen $A\vdash_\rho\varphi$)
Diese Behauptung wird induktiv über die Anzahl $n$ der Quantoren in $\psi$ bewiesen.
\subsection{Die Herbrand-Expansion}
verbleibende Frage: Wie erkennt man, ob eine gleichungsfreie Aussage in Skolemform ein Herbrand-Modell hat?
Beispiel: Seien $\sum=(\{a,f\},\{P,R\},ar)$ und $\varphi=\forall x\forall y (P(a,x)\wedge\lnot R(f(y)))$.
Jedes Herbrand-Modell A von $\varphi$
\begin{itemize*}
\item hat als Universum das Herbrand-Universum $D(\sum)=\{a,f(a),f^2(a),...\}=\{f^n(a)|n\geq0\}$
\item erfüllt $f^A(f^n(a))= f^{n+1}(a)$ für alle $n\geq0$
\end{itemize*}
Um ein Herbrand-Modell zu konstruieren, müssen (bzw. können) wir für alle Elemente $s,t,u\in D(\sum)$ unabhängig und beliebig wählen, ob $(s,t)\in P^A$ und $u\in R^A$ gilt.
Wir fassen dies als "aussagenlogische B-Belegung" B der "aussagenlogischen atomaren Formeln" $P(s,t)$ bzw. $R(u)$ auf.
Jede solche aussagenlogische B-Belegung $B$ definiert dann eine Herbrand-Struktur $A_B$:
Also hat $\varphi$ genau dann ein Herbrand-Modell, wenn es eine erfüllende B-Belegung $B$ der Menge aussagenlogischer Formeln $E(\varphi)=\{P(a,f^m(a))\wedge\lnot R(f^{n+1}(a)) | m,n\geq0\}$ gibt.
Beispiellösung: Setzt $B(P(s,t))=1$ und $B(R(s))=0$ für alle $s,t\in D(\sum)$.
Diese B-Belegung erfüllt $E(\varphi)$ und "erzeugt" die Herbrand-Struktur $A_B$ mit $P^{A_B}=D(\sum)^2$ und $R^{A_B}=\varnothing$.
Nach obiger Überlegung gilt $A_B\Vdash\varphi$, wir haben also ein Herbrand-Modell von $\varphi$ gefunden.
Sei $\varphi=\forall y_1\forall y_2...\forall y_n\psi$ gleichungsfreie Aussage in Skolemform.
Ziel: Konstruktion einer Menge aussagenlogischer Formeln, die genau dann erfüllbar ist, wenn $\varphi$ ein Herbrand-Modell hat.
Die Herbrand-Expansion von $\varphi$ ist die Menge der Aussagen $E(\varphi)=\{\psi[y_1:=t_1][y_2:=t_2]...[y_n:=t_n]|t_1,t_2,...,t_n\in D(\sum)\}$
Die Formeln von $E(\varphi)$ entstehen also aus $\psi$, indem die (variablenfreien) Terme aus $D(\sum)$ in jeder möglichen Weise in $\psi$ substituiert werden.
Wir betrachten die Herbrand-Expansion von $\varphi$ im folgenden als eine Menge von aussagenlogischen Formeln.
Die atomaren Formeln sind hierbei von der Gestalt $P(t_1,...,t_k)$ für $P\in Rel$ mit $ar(P)=k$ und $t_1,...,t_k\in D(\sum)$.
\note{Konstruktion}{Sei $B:\{P(t_1,...,t_k)|P\in Rel,k=ar(P),t_1,...,t_k\in D(\sum)\}\rightarrow B$ eine
B-Belegung. Die hiervon induzierte Herbrand-Struktur $A_B$ ist gegeben durch $P^{A_B}=\{(t_1,...,t_k)|t_1,...,t_k\in D(\sum),B(P(t_1,...,t_k))=1\}$ für alle $P\in Rel$ mit $ar(P)=k$. }
\note{Lemma}{Für jede quantoren- und gleichungsfreie Aussage $\alpha$ und jede Variableninterpretation $\rho$ in $A_B$ gilt $A_B\Vdash_\rho\alpha\Leftrightarrow B(\alpha)=1$.}
Beweis:
\begin{itemize*}
\item per Induktion über den Aufbau von $\alpha$
\item I.A. $\alpha$ ist atomar, d.h. $\alpha= P(t_1,...,t_k)$ mit $t_1,...,t_k$ variablenlos $A_B\Vdash_\rho\alpha\Leftrightarrow(\rho(t_1),\rho(t_2),...,\rho(t_k))\in P^{A_B}\Leftarrow B(\alpha)=1$
\item I.S.
\begin{itemize*}
\item$\alpha=\beta\wedge\gamma: A_B\Vdash_\rho\alpha\Leftrightarrow A_B \Vdash_\rho\beta$ und $A_B\Vdash_\rho\gamma\Leftrightarrow B(\beta)=B(\gamma)=1\Leftrightarrow B(\alpha)=1$
\item$\alpha=\beta\vee\gamma$: analog
\item$\alpha=\beta\rightarrow\gamma$: analog
\item$\alpha=\lnot\beta$: analog
\end{itemize*}
\end{itemize*}
\note{Lemma}{Sei $\varphi=\forall y_1\forall y_2 ...\forall y_n\psi$ gleichungsfreie Aussage in Skolemform. Sie hat genau dann ein Herbrand-Modell, wenn die Formelmenge $E(\varphi)$ (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar ist.}
Beweis: Seien $A$ Herbrand-Struktur und $\rho$ Variableninterpretation. Sei $B$ die B-Belegung mit $B(P(t_1,...,t_k))=1\Leftrightarrow(t_1,...,t_k)\in P^A$ für alle $P\in Rel$ mit $k=ar(P)$ und $t_1,...,t_k\in D(\sum)$. Dann gilt $A=A_B$.
\note{Satz von Gödel-Herbrand-Skolem}{Sei $\varphi$ gleichungsfreie Aussage in Skolemform. Sie ist genau dann erfüllbar, wenn die Formelmenge $E(\varphi)$ (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar ist.}
Beweis: $\varphi$ erfüllbar $\Leftrightarrow$$\varphi$ hat ein Herbrand-Modell $\Leftrightarrow$$E(\varphi)$ ist im aussagenlogischen Sinne erfüllbar.
\note{Satz von Herbrand}{Eine gleichungsfreie Aussage $\varphi$ in Skolemform ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine endliche Teilmenge von $E(\varphi)$ gibt, die (im aussagenlogischen Sinn) unerfüllbar ist. (Jacques Herbrand (1908-1931))}
Beweis: $\varphi$ unerfüllbar $\Leftrightarrow$$E(\varphi)$ unerfüllbar $\Leftrightarrow$ es gibt $M\subseteq E(\varphi)$ endlich und unerfüllbar
\subsection{Algorithmus von Gilmore}
Sei $\varphi$ gleichungsfreie Aussage in Skolemform und sei $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...$ eine Aufzählung von $E(\varphi)$.
Eingabe: $\varphi$
\begin{lstlisting}
n:=0;
repeat n := n +1;
until { alpha_1, alpha_2,..., alpha_n } ist unerfuellbar;
(dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik, z.B. Wahrheitswertetabelle, getestet werden)
Gib "unerfuellbar" aus und stoppe.
\end{lstlisting}
Folgerung: Sei $\varphi$ eine gleichungsfreie Aussage in Skolemform. Dann gilt:
\begin{itemize*}
\item Wenn die Eingabeformel $\varphi$ unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore und gibt "unerfüllbar" aus.
\item Wenn die Eingabeformel $\varphi$ erfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore nicht, d.h. er läuft unendlich lange.
\end{itemize*}
Beweis: unmittelbar mit Satz von Herbrand
Zusammenfassung: alternative Semi-Entscheidungsverfahren für die Menge der allgemeingültigen Formeln.
\begin{itemize*}
\item Berechne aus $\psi$ eine zu $\lnot\psi$ erfüllbarkeitsäquivalente gleichungsfreie Formel $\varphi$ in Skolemform.
\item Suche mit dem Algorithmus von Gilmore nach einer endlichen Teilmenge $E'$ von $E(\varphi)$, die unerfüllbar ist.
\item Gilt $\{\gamma\}\Vdash\varphi$? nein, denn $A\Vdash\gamma\wedge\lnot\varphi$ mit
\begin{itemize*}
\item$A=(\mathbb{N},f^A,g^A,R)$
\item$f^A(n)=g^A(n)=n+1$ für alle $n\in\mathbb{N}$
\item$R^A =\mathbb{N}^2\backslash\{(0 , 0)\}$
\end{itemize*}
\item Gibt es variablenfreie Terme $s$ und $t$ mit $\{\gamma\}\Vdash R(s,t)$?
\begin{itemize*}
\item ja: z.B. $(s,t)=(g(f(a)),g(a))$ oder $(s,t)=(g(a),g(a))$ oder $(s,t)=(a,f(b))$
\end{itemize*}
\item Kann die Menge aller Termpaare $(s,t)$ (d.h. aller "Lösungen") mit $\{\gamma\}\Vdash R(s,t)$ effektiv und übersichtlich angegeben werden?
\begin{itemize*}
\item Wegen $\{\gamma\}\Vdash R(s,t)\Leftrightarrow\gamma\wedge\lnot R(s,t)$ unerfüllbar ist die gesuchte Menge der variablenfreien Terme $(s,t)$ semi-entscheidbar, d.h. durch eine Turing-Maschine beschrieben.
\end{itemize*}
\item Im Rest des Logikteils der Vorlesung "Logik und Logikprogrammierung" wollen wir diese Menge von Termpaaren "besser" beschreiben (zumindest in einem Spezialfall, der die Grundlage der logischen Programmierung bildet).
\end{itemize*}
\note{Erinnerung}{Eine Horn-Klausel der Prädikatenlogik ist eine Aussage der Form $\forall x_1\forall x_2...\forall x_n ((\lnot\bot\wedge\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge...\wedge\alpha_m)\rightarrow\beta)$, mit $m\geq0$, atomaren Formeln $\alpha_1,...,\alpha_m$ und $\beta$ atomare Formel oder $\bot$.}
Aufgabe:
$\varphi_1,...,\varphi_n$ gleichungsfreie Horn-Klauseln, $\psi(x_1,x_2,...,x_{\iota})=R(t_1,...,t_k)$ atomare Formel, keine Gleichung. Bestimme die Menge der Tupel $(s_1,...,s_{\iota})$ von variablenfreien Termen mit $\{\varphi_1,...,\varphi_n\}\Vdash\psi(s_1,...,s_{\iota})=R(t_1,...,t_k)[x_1:=s_1]...[x_{\iota} :=s_{\iota}]$, d.h., für die die folgende Formel unerfüllbar ist: $\bigwedge_{1\leq i\leq n}\varphi_i \wedge\lnot\psi(s_1,...,s_{\iota})\equiv\bigwedge_{1\leq i\leq n}\varphi_i\wedge(\psi(s_1,...,s_{\iota})\rightarrow\bot)$
Erinnerung
\begin{itemize*}
\item Eine Horn-Formel der Prädikatenlogik ist eine Konjunktion von Horn-Klauseln der Prädikatenlogik.
\item Eine Horn-Klausel der Aussagenlogik ist eine Formel der Form $(\lnot\bot\wedge q_1\wedge q_2\wedge...\wedge q_m)\rightarrow r$ mit $m\geq0$, atomaren Formeln $q_1,q_2,...,q_m, r$ atomare Formel od. $\bot$.
\end{itemize*}
Beobachtung
\begin{itemize*}
\item Wir müssen die Unerfüllbarkeit einer gleichungsfreien Horn-Formel der Prädikatenlogik testen.
\item Ist $\varphi$ gleichungsfreie Horn-Klausel der Prädikatenlogik, so ist $E(\varphi)$ eine Menge von Horn-Klauseln der Aussagenlogik.
\end{itemize*}
Schreib- und Sprechweise
\begin{itemize*}
\item$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}\rightarrow\beta$ für Horn-Klausel der Prädikatenlogik $(\lnot\bot\wedge\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge...\wedge\alpha_n)\rightarrow\beta$ insbes. $\varnothing\rightarrow\beta$ für $\lnot\bot\rightarrow\beta$
\item$\{(N_i\rightarrow\beta_i) | 1\leq i\leq m\}$ für Horn-Formel $\bigwedge_{1\leq i\leq m}(N_i\rightarrow\beta_i)$
\end{itemize*}
Folgerung: Sei $\varphi=\bigwedge_{1\leq i\leq n}\varphi_i$ gleichungsfreie Horn-Formel der Prädikatenlogik. Dann ist $\varphi$ genau dann unerfüllbar, wenn $\bigcup_{1\leq i\leq n} E(\varphi_i)$ im aussagenlogischen Sinne unerfüllbar ist.
Beweis: Für $1\leq i\leq n$ sei $\varphi_i=\forall x_1^i,x_2^i,...,x_{m_i}^i \psi_i$.
Zur Vereinfachung nehme wir an, daß die Variablen $x_j^i$ für $1\leq i\leq n$ und $1\leq j\leq m_i$ paarweise verschieden sind.
Folgerung: Eine gleichungsfreie Horn-Formel der Prädikatenlogik $\varphi=\bigwedge_{1\leq i\leq n}\varphi_i$ ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine SLD-Resolution $(M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot)$ aus $\bigcup_{1\leq i\leq n} E(\varphi_i)$ mit $M_m =\varnothing$ gibt.
\subsection{Substitutionen}
Eine verallgemeinerte Substitution $\sigma$ ist eine Abbildung der Menge der Variablen in die Menge aller Terme, so daß nur endlich viele Variable $x$ existieren mit $\sigma(x)\not=x$.
Sei $Def(\sigma)=\{x\ Variable|x\not=\sigma(x)\}$ der Definitionsbereich der verallgemeinerten Substitution $\sigma$. Für einen Term $t$ definieren wir den Term $t\sigma$ (Anwendung der verallgemeinerten Substitution $\sigma$ auf den Term $t$) wie folgt induktiv:
\begin{itemize*}
\item$x\sigma=\sigma(x)$
\item$[f(t_1 ,... ,t_k)]\sigma=f(t_1\sigma,... ,t_k\sigma)$ für Terme $t_1,... ,t_k,f\in\Omega$ und $k=ar(f)$
Für eine atomare Formel $\alpha=P(t_1 ,... ,t_k)$ (d.h. $P\in Rel,ar(P)=k,t_1 ,... ,t_k$ Terme) sei $\alpha\sigma= P(t_1\sigma,... ,t_k\sigma)$
\end{itemize*}
Verknüpfungvon verallgemeinerten Substitutionen: Sind $\sigma_1$ und $\sigma_2$ verallgemeinerte Substitutionen, so definieren wir eine neue verallgemeinerte Substitution $\sigma_1\sigma_2$ durch $(\sigma_1\sigma_2)(x)=(x\sigma_1)\sigma_2$.
Beispiel: Sei $x$ Variable und $t$ Term. Dann ist $\sigma$ mit
$\sigma(y)=\begin{cases} t \quad\text{ falls } x=y \\ y \quad\text{ sonst }\end{cases}$
eine verallgemeinerte Substitution. Für alle Terme $s$ und alle atomaren Formeln $\alpha$ gilt
$s\sigma=s[x:=t]$ und $\alpha\sigma=\alpha[x:=t]$.
Substitutionen sind also ein Spezialfall der verallgemeinerten Substitutionen.
Beispiel: Die verallgemeinerte Substitution $\sigma$ mit $Def(\sigma)=\{x,y,z\}$ und $\sigma(x)=f(h(x')), \sigma(y)=g(a,h(x')), \sigma(z)=h(x')$ ist gleich der verallgemeinerten Substitution $[x:=f(h(x'))][y:=g(a,h(x'))][z:=h(x')]=[x:=f(z)][y:=g(a,z)][z:=h(x')]$.
Es kann sogar jede verallgemeinerte Substitution $\sigma$ als Verknüpfung von Substitutionen der Form $[x:=t]$ geschrieben werden.
Vereinbarung: Wir sprechen ab jetzt nur von "Substitutionen", auch wenn wir "verallgemeinerte Substitutionen" meinen.
\note{Lemma}{Seien $\sigma$ Substitution, $x$ Variable und $t$ Term, so dass
\begin{itemize*}
\item (i) $x\not\in Def(\sigma)$ und
\item (ii) $x$ in keinem der Terme $y\sigma$ mit $y\in Def(\sigma)$ vorkommt.
Dann gilt $[x:=t]\sigma=\sigma[x:=t\sigma]$.
\end{itemize*}
}
Beispiele: Im folgenden sei $t=f(y)$.
\begin{itemize*}
\item Ist $\sigma=[x:=g(z)]$, so gilt $x[x:=t]\sigma=t\sigma=t\not=g(z)=g(z)[x:=t\sigma]=x\sigma[x:=t\sigma]$.
\item Ist $\sigma=[y:=g(x)]$, so gilt $y[x:=t]\sigma=y\sigma=g(x)\not=g(f(g(x)))= g(x)[x:=t\sigma]=y\sigma[x:=t\sigma]$.
\item Ist $\sigma=[y:=g(z)]$, so gelten $Def([x:=t]\sigma)=\{x,y\}=Def(\sigma[x:=t\sigma]),[x:=t]\sigma(x)=f(g(z))=\sigma[x:=t\sigma]$ und $[x:=t]\sigma(y)=\sigma(z)=\sigma[x:=t\sigma]$, also $[x:=t]\sigma=\sigma[x:=t\sigma]$.
\end{itemize*}
Beweis: Wir zeigen $y[x:=t]\sigma=y\sigma[x:=t\sigma]$ für alle Variablen $y$.
\begin{itemize*}
\item$y=x$: Dann gilt $y[x:=t]\sigma=t\sigma$. Außerdem $y\sigma=x$ wegen $y=x\not\in Def(\sigma)$ und damit $y\sigma[x:=t\sigma]=x[x:=t\sigma]=t\sigma$.
\item$y\not=x$: Dann gilt $y[x:=t]\sigma=y\sigma$ und ebenso $y\sigma[x:=t\sigma]=y\sigma$, da $x$ in $y\sigma$ nicht vorkommt.
\end{itemize*}
\subsection{Unifikator/Allgemeinster Unifikator}
Gegeben seien zwei gleichungsfreie Atomformeln $\alpha$ und $\beta$. Eine Substitution $\sigma$ heißt Unifikator von $\alpha$ und $\beta$, falls $\alpha\sigma=\beta\sigma$.
Ein Unifikator $\sigma$ von $\alpha$ und $\beta$ heißt allgemeinster Unifikator von $\alpha$ und $\beta$, falls für jeden Unifikator $\sigma'$ von $\alpha$ und $\beta$ eine Substitution $\tau$ mit $\sigma'=\sigma\tau$ existiert.
Aufgabe: Welche der folgenden Paare $(\alpha,\beta)$ sind unifizierbar?
Eine Variablenumbenennung ist eine Substitution $\rho$, die $Def(\rho)$ injektiv in die Menge der Variablen abbildet.
\note{Lemma}{Sind $\sigma_1$ und $\sigma_2$ allgemeinste Unifikatoren von $\alpha$ und $\beta$, so existiert eine Variablenumbenennung $\rho$ mit $\sigma_2=\sigma_1\rho$.}
Beweis: $\sigma_1$ und $\sigma_2$ allgemeinste Unifikatoren $\Rightarrow$ es gibt Substitutionen $\tau_1$ und $\tau_2$ mit $\sigma_1\tau_1=\sigma_2$ und $\sigma_2\tau_2=\sigma_1$.
Definiere eine Substitution $\rho$ durch:
$\rho(y)=\begin{cases} y\tau_1\quad\text{ falls es x gibt, so dass y in } x\sigma_1\text{ vorkommt}\\ y \quad\text{ sonst }\end{cases}$
Wegen $Def(\rho)\subseteq Def(\tau_1)$ ist $Def(\rho)$ endlich, also $\rho$ eine Substitution.
\begin{itemize*}
\item Für alle Variablen $x$ gilt dann $x\sigma_1\rho=x\sigma_1\tau_1=x\sigma_2$ und daher $\sigma_2=\sigma_1\rho$.
\item Wir zeigen, dass $\rho(y)$ Variable und $\rho$ auf $Def(\rho)$ injektiv ist: Sei $y\in Def(\rho)$. Dann existiert Variable $x$, so dass $y$ in $x\sigma_1$ vorkommt. Es gilt $x\sigma_1=x\sigma_2\tau_2=x\sigma_1\tau_1\tau_2$, und damit $y=y\tau_1\tau_2=y\rho\tau_2=\rho(y)\tau_2$, d.h. $\rho(y)$ ist Variable, die Abbildung $\rho:Def(\rho)\rightarrow\{z|z\ Variable\}$ ist invertierbar (durch $\tau_2$) und damit injektiv.
\item (A) Der Unifikationsalgorithmus terminiert für jede Eingabe.
\item (B) Wenn die Eingabe nicht unifizierbar ist, so terminiert der Unifikationsalgorithmus mit der Ausgabe "nicht unifizierbar".
\item (C) Wenn die Eingabe $(\alpha,\beta)$ unifizierbar ist, dann findet der Unifikationsalgorithmus einen allgemeinsten Unifikator von $\alpha$ und $\beta$.
\end{itemize*}
}
(C) besagt insbesondere, daß zwei unifizierbare gleichungsfreie Atomformeln (wenigstens) einen allgemeinsten Unifikator haben. Nach dem Lemma oben haben sie also genau einen allgemeinsten Unifikator (bis auf Umbenennung der Variablen).
Beweis: Sei die Eingabe $(\alpha,\beta)$ nicht unifizierbar.
Falls die Bedingung $\alpha\sigma\not=\beta\sigma$ der while-Schleife irgendwann verletzt wäre, so wäre $(\alpha,\beta)$ doch unifizierbar (denn $\sigma$ wäre ja ein Unifikator).
Da nach Lemma (A) der Algorithmus bei Eingabe $(\alpha,\beta)$ terminiert, muss schließlich "nicht unifizierbar" ausgegeben werden.
\note{Lemma (C1)}{Sei $\sigma'$ ein Unifikator der Eingabe $(\alpha,\beta)$, so dass keine Variable aus $\alpha$ oder $\beta$ auch in einem Term aus $\{y\sigma'|y\in Def(\sigma')\}$ vorkommt. Dann terminiert der Unifikationsalgorithmus erfolgreich und gibt einen Unifikator $\sigma$ von $\alpha$ und $\beta$ aus. Außerdem gibt es eine Substitution $\tau$ mit $\sigma'=\sigma\tau$.}
\item Sei $N\in\mathbb{N}$ die Anzahl der Durchläufe der while-Schleife (ein solches $N$ existiert, da der Algorithmus nach Lemma (A) terminiert).
\item Sei $\sigma_0$ Substitution mit $Def(\sigma_0)=\varnothing$, d.h. die Identität. Für $1\leq i\leq N$ sei $\sigma_i$ die nach dem $i$-ten Durchlauf der while-Schleife berechnete Substitution $\sigma$.
\item Für $1\leq i\leq N$ sei $x_i$ die im $i$-ten Durchlauf behandelte Variable $x$ und $t_i$ der entsprechende Term $t$.
\item Für $0\leq i\leq N$ sei $\tau_i$ die Substitution mit $\tau_i(x)=\sigma'(x)$ für alle $x\in Def(\tau_i)=Def(\sigma')\backslash\{x_1,x_2,...,x_i\}$.
\item Für alle $0\leq i\leq N$ gilt $\sigma'=\sigma_i\tau_i$.
\item Im $i$-ten Durchlauf durch die while-Schleife $(1\leq i\leq N)$ terminiert der Algorithmus entweder erfolgreich (und gibt die Substitution $\sigma_N$ aus) oder der Algorithmus betritt die beiden else-Zweige.
\item Für alle $0\leq i\leq N$ enthalten $\{\alpha\sigma_i,\beta\sigma_i\}$ und $T_i=\{y\tau_i|y\in Def(\tau_i)\}$ keine gemeinsamen Variablen.
Aus dieser Behauptung folgt tatsächlich die Aussage des Lemmas:
\begin{itemize*}
\item Nach (2) terminiert der Algorithmus erfolgreich mit der Substitution $\sigma_N$. Daher gilt aber $\alpha\sigma_N=\beta\sigma_N$, d.h. $\sigma_N$ ist ein Unifikator.
\item Nach (1) gibt es auch eine Substitution $\tau_n$ mit $\sigma'=\sigma_N\tau_n$.
\note{Lemma (C)}{Sei die Eingabe $(\alpha,\beta)$ unifizierbar. Dann terminiert der Unifikationsalgorithmus erfolgreich und gibt einen allgemeinsten Unifikator $\sigma$ von $\alpha$ und $\beta$ aus.}
Beweis: Sei $\sigma'$ ein beliebiger Unifikator von $\alpha$ und $\beta$. Sei $Y=\{y_1,y_2,... ,y_n\}$ die Menge aller Variablen, die in $\{y\sigma'|y\in Def(\sigma')\}$ vorkommen.
Sei $Z=\{z_1,z_2,...,z_n\}$ eine Menge von Variablen, die weder in $\alpha$ noch in $\beta$ vorkommen.
Sei $\rho$ die Variablenumbenennung mit $Def(\rho)=Y\cup Z,\rho(y_i)=z_i$ und $\rho(z_i)=y_i$ für alle $1\leq i\leq n$.
Dann ist auch $\sigma'\rho$ ein Unifikator von $\alpha$ und $\beta$ und keine Variable aus $\alpha$ oder $\beta$ kommt in einem der Terme aus $\{y\sigma'\rho|y\in Def(\sigma')\}$ vor.
Nach Lemma (C1) terminiert der Unifikationsalgorithmus erfolgreich mit einem Unifikator $\sigma$ von $\alpha$ und $\beta$, so dass es eine Substitution $\tau$ gibt mit $\sigma'\rho=\sigma\tau$.
Also gilt $\sigma'=\sigma(\tau\rho^{-1})$.
Da $\sigma'$ ein beliebiger Unifikator von $\alpha$ und $\beta$ war und da die Ausgabe $\sigma$ des Algorithmus nicht von $\sigma'$ abhängt, ist $\sigma$ also ein allgemeinster Unifikator.
\item (A) Der Unifikationsalgorithmus terminiert für jede Eingabe.
\item (B) Wenn die Eingabe nicht unifizierbar ist, so terminiert der Unifikationsalgorithmus mit der Ausgabe "nicht unifizierbar".
\item (C) Wenn die Eingabe $(\alpha,\beta)$ unifizierbar ist, dann findet der Unifikationsalgorithmus immer einen allgemeinsten Unifikator von $\alpha$ und $\beta$.
(C) besagt insbesondere, daß zwei unifizierbare gleichungsfreie Atomformeln(wenigstens) einen allgemeinsten Unifikator haben. Damit haben sie aber genau einen allgemeinsten Unifikator (bis auf Umbenennung der Variablen).
\item Eine Horn-Klausel der Prädikatenlogik ist eine Aussage der Form $\forall x_1\forall x_2... \forall x_n ((\lnot\bot\wedge\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge...\wedge\alpha_m)\rightarrow\beta)=\Psi$ mit $m\geq0$, atomaren Formeln $\alpha_1,...,\alpha_m$ und $\beta$ atomare Formel oder $\bot$. Sie ist definit, wenn $\beta\not=\bot$.
\item Eine Horn-Klausel der Aussagenlogik ist eine Formel der Form $(\lnot\bot\wedge q_1\wedge q_2\wedge... \wedge q_m)\rightarrow r$ mit $m\geq0$, atomaren Formeln $q_1,q_2,...,q_m,r$ atomare Formel oder $\bot$.
Für die Horn-Klausel der Prädikatenlogik $\forall x_1...\forall x_n(\lnot\bot\wedge\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge...\wedge\alpha_m)\rightarrow\beta$ schreiben wir kürzer $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}\rightarrow\beta$.
insbes. $\varnothing\rightarrow\beta$ für $\forall x_1...\forall x_n(\lnot\bot\rightarrow\beta)$
Sei $\Gamma$ eine Menge von Horn-Klauseln der Aussagenlogik. Eine aussagenlogische SLD-Resolution aus $\Gamma$ ist eine Folge $(M_0\rightarrow\bot,M_1\rightarrow\bot,...,M_m\rightarrow\bot)$ von Hornklauseln mit
\begin{itemize*}
\item$(M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma$ und
\item für alle $0\leq n<m$ existiert $(N\rightarrow q)\in\Gamma$ mit $q\in M_n$ und $M_{n+1}=M_n\backslash\{q\}\cup N$
\note{Definition}{Sei $\Gamma$ eine Menge von gleichungsfreien Horn-Klauseln der Prädikatenlogik. Eine SLD-Resolution aus $\Gamma$ ist eine Folge $((M_0\rightarrow\bot,\sigma_0),(M_1\rightarrow\bot,\sigma_1),...,(M_m\rightarrow\bot,\sigma_m))$ von Horn-Klauseln und Substitutionen mit
\begin{itemize*}
\item$(M_0\rightarrow\bot)\in\Gamma$ und $Def(\sigma_0)=\varnothing$
\item für alle $0\leq n<m$ existieren $\varnothing\not=Q\subseteq M_n,(N\rightarrow\alpha)\in\Gamma$ und Variablenumbenennung $\rho$, so dass
\begin{itemize*}
\item$(N\cup\{\alpha\})\rho$ und $M_n$ variablendisjunkt sind,
\item$\sigma_{n+1}$ ein allgemeinster Unifikator von $\alpha\rho$ und $Q$ ist und
Seien $\Gamma=\{\varphi_1,...,\varphi_n\}$ Menge gleichungsfreier Horn-Klauseln, $\Psi(x_1,x_2 ,...,x_{\iota})=R(t_1 ,...,t_k)$ atomare Formel, keine Gleichung und $(s_1,...,s_{\iota})$ Tupel variablenloser Terme.
Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate*}
\item$\Gamma\Vdash\Psi(s_1,...,s_{\iota})$.
\item Es gibt eine SLD-Resolution $((M_n\rightarrow\bot,\sigma_n))_{0\leq n\leq m}$ aus $\Gamma\cup\{M_0\rightarrow\bot\}$ mit $M_0=\{\Psi(x_1,...,x_{\iota})\}$ und $M_m=\varnothing$ und eine Substitution $\tau$, so dass $s_i=x_i\sigma_0\sigma_1 ...\sigma_m\tau$ für alle $1\leq i\leq\iota$ gilt.
\note{Lemma}{Sei $\Gamma$ Menge von gleichungsfreien Horn-Klauseln der Prädikatenlogik und $(M_n \rightarrow\bot,\sigma_n))_{0\leq n\leq m}$ eine SLD-Resolution aus $\Gamma\cup\{M_0\rightarrow\bot\}$ mit $M_m=\varnothing$.
Dann gilt $\Gamma\Vdash\Psi\sigma_0\sigma_1\sigma_2...\sigma_m$ für alle $\Psi\in M_0$.}
$\Gamma=\{\varphi_1,...,\varphi_n\},M_0=\{\Psi(x_1,...,x_{\iota})\},\tau$ Substitution, so dass $s_i=x_i \sigma_0\sigma_1\sigma_2 ...\sigma_m \tau$ variablenlos für alle $1\leq i \leq\iota$. Nach dem Lemma gilt also $\Gamma\Vdash\Psi(x_1,...,x_{\iota})\sigma_0 ...\sigma_m$ und damit $\Gamma\Vdash\Psi(x_1 ,...,x_{\iota})\sigma_0 ...\sigma_m\tau=\Psi(s_1,...,s_{\iota})$.
Die Implikation $(2)\Rightarrow(1)$ des Ziels folgt also aus diesem Lemma.
\note{Lemma}{Sei $\Gamma$ eine Menge von definiten gleichungsfreien Horn-Klauseln der Prädikatenlogik, sei $M\rightarrow\bot$ eine gleichungsfreie Horn-Klausel und sei $\nu$ Substitution, so dass $M\nu$ variablenlos ist und $\Gamma\Vdash M\nu$ gilt. Dann existieren eine prädikatenlogische SLD-Resolution $((M_n \rightarrow\bot,\sigma_n))_{0\leq n\leq m}$ und eine Substitution $\tau$ mit $M_0=M,M_m=\varnothing$ und $M_0\sigma_0\sigma_1... \sigma_m \tau=M_{\nu}$.}
$\Gamma=\{\varphi_1,...,\varphi_n\},M=\{\psi(x_1 ,...,x_{\iota})\},s_1,...,s_\iota\}$ variablenlose Terme, so dass $\{\varphi_1 ,...,\varphi_n\}\Vdash\psi(s_1,...,s_{\iota})=\psi(x_1 ,...,x_{\iota})\nu$ mit $\nu(x_i)=s_i$. Dann existieren SLD-Resolution und Substitution $\tau$ mit $M_0\sigma0...\sigma_m\tau=M\nu=\{\psi(s_1,...,s_{\iota})\}$.
Die Implikation $(1)\Rightarrow(2)$ des Ziels folgt also aus diesem Lemma.
\note{Satz}{Sei $\Gamma$ eine Menge von definiten gleichungsfreien Horn-Klauseln der Prädikatenlogik, sei $M\rightarrow\bot$ eine gleichungsfreie Horn-Klausel und sei $\nu$ Substitution, so dass $M\nu$ variablenlos ist. Dann sind äquivalent:
\begin{itemize*}
\item$\Gamma\Vdash M\nu$
\item Es existieren eine SLD-Resolution $((M_n\rightarrow\bot,\sigma_n))_{0\leq n\leq m}$ aus $\Gamma\cup\{M\nu\rightarrow\bot\}$ und eine Substitution $\tau$ mit $M_0=M,M_m=\varnothing$ und $M_0\sigma_0\sigma_1...\sigma_m\tau=M\nu$.
$\Gamma=\{\varphi_1,...,\varphi_n\},M_0=\{\psi(x_1,...,x_{\iota})\}=\{R(t_1,t_2,...,t_k)\}$. Durch SLD-Resolutionen können genau die Tupel variablenloser Terme gewonnen werden, für die gilt:
\item Das natürliche Schließen formalisiert die "üblichen" Argumente in mathematischen Beweisen.
\item Das natürliche Schließen ist vollständig und korrekt.
\item Die Menge der allgemeingültigen Formeln ist semi-entscheidbar, aber nicht entscheidbar.
\item Die Menge der Aussagen, die in $(\mathbb{N},+,*,0,1)$ gelten, ist nicht semi-entscheidbar.
\item Die SLD-Resolution ist ein praktikables Verfahren, um die Menge der "Lösungen" $(s_1,...,s_{\iota})$ von $\Gamma\Vdash\psi(s_1,...,s_{\iota})$ zu bestimmen (wobei $\Gamma$ Menge von gleichungsfreien Horn-Klauseln und $\psi$ Konjunktion von gleichungsfreien Atomformeln sind.
\item Verneinungstechnischen Normalform (VTNF): $\lnot$ steht nur vor Atomformeln
\begin{itemize*}
\item$\lnot\lnot A\equiv A$
\end{itemize*}
\item Erzeugung der Pränexen Normalform (PNF): $\forall, \exists$ stehen vor dem Gesamtausdruck
\begin{itemize*}
\item$\forall X A(X)\rightarrow B \equiv\exists X(A(X)\rightarrow B)$
\item$\exists X A(X)\rightarrow B \equiv\forall X(A(X)\rightarrow B)$
\end{itemize*}
\item Erzeugung der SKOLEM‘schen Normalform (SNF): $\exists$ wird eliminiert
Notation aller existenzquantifizierten Variablen als Funktion derjenigen allquantifizierten Variablen, in deren Wirkungsbereich ihr Quantor steht. Dies ist keine äquivalente - , wohl aber eine die Kontradiktorizität erhaltende Umformung.
\item Erzeugung der Konjunktiven Normalform (KNF)
Durch systematische Anwendung des Distributivgesetzes $A\vee(B\wedge C)\equiv(A\vee B)\wedge(A\vee C)$ lässt sich aus der SNF $\forall X_1...\forall X_n A(X_1,...,X_n)$ stets die äquivalente KNF $\forall X_1...\forall X_n((L_1^1\vee...\vee L_1^{n_1})\wedge...\wedge(L_m^1\vee...\vee L_m^{n_m}))$ erzeugen. Die $L_i^k$ sind unnegierte oder negierte Atomformeln und heißen positive bzw. negative Literale.
\item Erzeugung der Klauselform (KF)
Jede der Elementardisjunktionen $(L_1^j \vee...\vee L_1^{j_k})$ der KNF kann man als äquivalente Implikation (Klausel) $(L_i^j \vee...\vee L_i^{j_m})\leftarrow(L_1^{j_{m+1}}\wedge ...\wedge L_1^{j_k})$ notieren, indem man alle positiven Literale $L_i^j,...,L_i^{j_m}$ disjunktiv verknüpft in den DANN-Teil (Klauselkopf) und alle negativen Literale $L_i^{j_{m+1}},...,L_i^{j_k}$ konjunktiv verknüpft in den WENN-Teil (Klauselkörper) notiert.
\item Sind die Klauseln aus Schritt 5. HORN?
In dem Spezialfall, dass alle Klauselköpfe dabei aus genau einem Literal bestehen, war die systematische Erzeugung von HORN-Klauseln erfolgreich; anderenfalls gelingt sie auch nicht durch andere Verfahren.
Heißt das etwa, die HORN-Logik ist eine echte Beschränkung der Ausdrucksfähigkeit? Richtig, das heißt es.
Es gebe eine Substitution (Variablenersetzung) $\nu$ für die $A$ und eines der $H_i$ (etwa $H_l$) vorkommenden Variablen, welche $A$ und $H_l$ syntaktisch identisch macht.
$M\equiv\bigwedge_{i=1}^n K_i\wedge\lnot(\bigwedge_{i=1}^m H_i)$ ist kontradiktorisch ($kt\ M‘$), gdw. $M‘$ nach Ersetzen von $H$ durch $\bigwedge_{i=1}^{l-1}\nu(H_i)\wedge\bigwedge_{k=1}^p\nu(B_k)\wedge\bigwedge_{i=l+1}^m \nu(H_i)$ noch immer kontradiktorisch ist.
\note{Satz von ROBINSON}{$M'\equiv\bigwedge_{i=1}^n K_i\wedge\lnot H$ ist kontradiktorisch ($kt\ M‘$), gdw. durch wiederholte Resolutionen in endlich vielen Schritten die negierte Hypothese $\lnot H\equiv false \leftarrow H$ durch die leere Klausel $false\leftarrow true$ ersetzt werden kann.}
\item Eine (Variablen-) Substitution $\nu$ einer Atomformel $A$ ist eine Abbildung der Menge der in $A$ vorkommenden Variablen $X$ in die Menge der Terme (aller Art: Konstanten, Variablen, strukturierte Terme).
\item Sie kann als Menge von Paaren $[Variable,Ersetzung]$ notiert werden: $\nu=\{[x,t]: x\in X, t=\nu(x)\}$
\item Für strukturierte Terme wird die Substitution auf deren Komponenten angewandt: $\nu(f(t_1,...,t_n))= f(\nu(t_1),...,\nu(t_n))$
\item Verkettungsoperator $\circ$ für Substitutionen drückt Hintereinander-anwendung aus: $\sigma\circ\nu(t)=\sigma(\nu(t))$
\item Substitutionen, die zwei Terme syntaktisch identisch machen, heißen Unifikator: $\nu$unifiziert zwei Atomformeln (oder Terme) $s$ und $t$ (oder: heißt Unifikator von $s$ und $t$), falls dessen Einsetzung $s$ und $t$ syntaktisch identisch macht.
Die Unifizierbarkeit zweier Terme richtet sich nach deren Sorte:
\begin{enumerate*}
\item Zwei Konstanten $t_1$ und $t_2$ sind unifizierbar, gdw. $t_1= t_2$
\item Zwei strukturierte Terme $f(t_{11},...,t_{1n})$ und $f(t_{21},...,t_{2n})$ sind unifizierbar, gdw.
\begin{itemize*}
\item sie die gleichen Funktionssymbole aufweisen ($f_1= f_2$),
\item sie die gleichen Stelligkeiten aufweisen ($n=m$) und
\item die Terme $t_{1i}$ und $t_{2i}$ jeweils miteinander unifizierbar sind.
\end{itemize*}
\item Eine Variable $t_1$ ist mit einer Konstanten oder einem strukturierten Term $t_2$ unifizierbar. $t_1$ wird durch $t_2$ ersetzt (instanziert): $t_1:= t_2$
\item Zwei Variablen $t_1$ und $_2$ sind unifizierbar und werden gleichgesetzt: $t_1:=t_2$ bzw. $t_2:= t_1$
\item Unifikatoren für $H_1^0$ und Kopf von $K_1$:
\begin{itemize*}
\item$\nu^1=\{[X,a],[Y,b],[A,a],[B,b]\}$
\item$\nu^2=\{[X,a],[Y,B],[A,a]\}$
\item$\nu^3=\{[X,A],[Y,b],[B,b]\}$
\item$\nu^4=\{[A,X],[B,Y]\}$ ...
\end{itemize*}
\item Obwohl $\{K_1, K_2, K_3\}\Vdash H$, gibt es bei Einsetzung von $\nu^1$, $\nu^2$ und $\nu^3$ keine Folge von Resolutionsschritten, die zur leeren Klausel führt.
\item Bei Einsetzung von $\nu^4$ hingegen gibt es eine solche Folge.
\item Die Vollständigkeit des Inferenzverfahrens hängt von der Wahl des "richtigen" Unifikators ab.
\item Dieser Unifikator muss möglichst viele Variablen variabel belassen. Unnötige Spezialisierungen versperren zukünftige Inferenzschritte.
\item Ein solcher Unifikator heißt **allgemeinster Unifikator** bzw. "most general unifier" (m.g.u.).
\end{itemize*}
\note{Allgemeinster Unifikator}{Eine Substitution heißt allgemeinster Unifikator (most general unfier; m.g.u.) zweier (Atomformeln oder) Terme $s$ und $t$ ($\nu= m.g.u.(s,t)$), gdw.
\begin{enumerate*}
\item die Substitution $\nu$ ein Unifikator von $s$ und $t$ ist und
\item für jeden anderen Unifikator $\sigma$ von $s$ und $t$ eine nichtleere und nicht identische Substitution $\tau$ existiert, so dass $\sigma=\tau\circ\nu$ ist.
Der Algorithmus zur Berechnung des m.g.u. zweier Terme $s$ und $t$ verwendet Unterscheidungsterme: Man lese $s$ und $t$ zeichenweise simultan von links nach rechts. Am ersten Zeichen, bei welchem sich $s$ und $t$ unterscheiden, beginnen die Unterscheidungsterme $s*$ und $t*$ und umfassen die dort beginnenden (vollständigen) Teilterme.
Algorithmus zur Bestimmung des allgemeinsten Unifikators 2er Terme
\item Dass das "Deduktionstool" PROLOG $M \Vdash H$ zu zeigen versucht, d.h. $kt(\bigwedge_{i=1}^n K_i\wedge\lnot H)$ )
\item ..., indem systematisch die Resolutionsmethode auf $\lnot H$ und eine der Klauseln aus $M$ angewandt wird, solange bis $\lnot H\equiv false\leftarrow true$ entsteht
Es werden anwendbare Klauseln für das erste Teilziel gesucht. Gibt es ...
\begin{itemize*}
\item ... genau eine, so wird das 1. Teilziel durch deren Körper ersetzt.
\item ... mehrere, so wird das aktuelle Ziel inklusive alternativ anwendbarer Klauseln im Backtrack-Keller abgelegt und die am weitesten oben stehende Klausel angewandt.
\item ... keine (mehr), so wird mit dem auf dem Backtrack-Keller liegendem Ziel die Bearbeitung fortgesetzt.
\end{itemize*}
Dies geschieht solange, bis
\begin{itemize*}
\item das aktuelle Ziel leer ist oder
\item keine Klausel (mehr) anwendbar ist und der Backtrack-Keller leer ist.
\note{Deklarative Interpretation}{In einem Objektbereich $I=\{mueller, mayer, schulze, ...\}$ bildet das Prädikat $weisungsrecht(X,Y)$$[X,Y]$ auf wahr ab, gdw.
\begin{itemize*}
\item das Prädikat $chef_von(X,Y)$ das Paar $[X,Y]$ auf wahr abbildet oder
\item es ein $Z\in I$ gibt, so dass
\begin{itemize*}
\item das Prädikat $chef_von(X,Z)$ das Paar $[X,Z]$ auf wahr abbildet und
\item das Prädikat $weisungsrecht(Z,Y)$ das Paar $[Z,Y]$ auf wahr abbildet.
\end{itemize*}
\end{itemize*}
}
\note{Prozedurale Interpretation}{Die Prozedur $weisungsrecht(X,Y)$ wird abgearbeitet, indem
\begin{enumerate*}
\item die Unterprozedur $chef_von(X,Y)$ abgearbeitet wird. Im Erfolgsfall ist die Abarbeitung beendet; anderenfalls werden
\item die Unterprozeduren $chef_von(X,Z)$ und $weisungsrecht(Z,Y)$ abgearbeitet; indem systematisch Prozedurvarianten beider Unterprozeduren aufgerufen werden. Dies geschieht bis zum Erfolgsfall oder erfolgloser erschöpfender Suche.
Prädikate zur Steuerung der Suche nach einer Folge von Resolutionsschritten!
!(cut)
Das Prädikat $!/0$ ist stets wahr. In Klauselkörpern eingefügt verhindert es ein Backtrack der hinter $!/0$ stehenden Teilziele zu den vor $!/0$ stehenden Teilzielen sowie zu alternativen Klauseln des gleichen Kopfprädikats. Die Verarbeitung von $!/0$ schneidet demnach alle vor der Verarbeitung verbliebenen Lösungswege betreffenden Prozedur ab.
Prädikate zur Steuerung der Suche nach einer Folge von Resolutionsschritten
**fail**
Das Prädikat $fail/0$ ist stets falsch. In Klauselkörpern eingefügt löst es ein Backtrack aus bzw. führt zum Misserfolg, falls der Backtrack-Keller leer ist, d.h. falls es keine verbleibenden Lösungswege (mehr) gibt.
Listen als kompakte Wissensrepräsentation: ein bekanntes Beispiel (BSP5.PRO)
\begin{lstlisting}
- arbeiten_in([meier, mueller], raum_1).
- arbeitet_in(meier, raum_1).
- arbeitet_in(mueller, raum_1).
- arbeitet_in(otto, raum_2).
- arbeiten_in([otto], raum_2 ).
- arbeitet_in(kraus, raum_3).
- arbeiten_in([kraus], raum_3 ).
- anschluesse_in([raum_2, raum_3]).
- anschluss_in(raum_2).
- anschluss_in(raum_3).
\end{lstlisting}
**Rekursion** in der Logischen Programmierung
Eine Prozedur heißt (direkt) rekursiv, wenn in mindestens einem der Klauselkörper ihrer Klauseln ein erneuter Aufruf des Kopfprädikates erfolgt.
Ist der Selbstaufruf die letzte Atomformel des Klauselkörpers der letzten Klausel dieser Prozedur - bzw. wird er es durch vorheriges "Abschneiden" nachfolgender
Klauseln mit dem Prädikat $!/0$ - , so spricht man von Rechtsrekursion ; anderenfalls von Linksrekursion.
Eine Prozedur heißt indirekt rekursiv, wenn bei der Abarbeitung ihres Aufrufes ein erneuter Aufruf derselben Prozedur erfolgt.
\item Zwei leere Listen sind (als identische Konstanten aufzufassen und daher) miteinander unifizierbar.
\item Zwei nichtleere Listen $[K_1|R_1]$ und $[K_2|R_2]$ sind miteinander unifizierbar, wenn ihre Köpfe ($K_1$ und $K_2$) und ihre Restlisten ($R_1$ und $R_2$) jeweils miteinander unifizierbar sind.
\item Eine Liste $L$ und eine Variable $X$ sind miteinander unifizierbar, wenn die Variable selbst nicht in der Liste enthalten ist. Die Variable $X$ wird bei erfolgreicher Unifikation mit der Liste $L$ instanziert: $X:=L$.
Eine Differenzliste $L_1- L_2$ besteht aus zwei Listen $L_1$ und $L_2$ und wird im allgemeinen als $[L_1,L_2]$ oder (bei vorheriger Definition eines pre- bzw. infix notierten Funktionssymbols
Sie wird (vom Programmierer, nicht vom PROLOG-System!) als eine Liste interpretiert, deren Elemente sich aus denen von $L_1$ abzüglich derer von $L_2$ ergeben. Differenzlisten verwendet man typischerweise, wenn häufig Operationen am Ende von Listen vorzunehmen sind.
\item Die Differenz aus einer leeren Liste und einer (beliebigen) Liste ist die leere Liste: $[]- L =[]$
\item Die Differenz aus einer Liste $[E|R]$ und der Liste $L$, welche $E$ enthält, ist die Liste $D$,
wenn die Differenz aus $R$ und $L$ (abzügl. $E$) die Liste $D$ ist: $[E|R]-L = D$, wenn $E\in L$ und $R-(L-[E])= D$
\item Die Differenz aus einer Liste $[E|R]$ und einer Liste $L$, welche $E$ nicht enthält, ist die Liste $[E|D]$, wenn die Differenz aus $R$ und $L$ die Liste $D$ ist: $[E|R]- L =[E|D]$, wenn $E\in L$ und $R-L=D$
Auch dieses Beispiel lässt sich so erweitern, dass die Hypothese offensichtlich aus der Wissensbasis folgt, die Umsetzung der Resolutionsmethode aber die Vollständigkeit zerstört:
\paragraph{Metalogische Prädikate und konstruktive Lösungen}
Das Prädikat $not/1$ hat eine Aussage als Argument und ist somit eine Aussage über eine Aussage, also metalogisch.
I.allg. ist $not/1$ vordefiniert, kann aber mit Hilfe von $call/1$ definiert werden. $call/1$ hat Erfolg, wenn sein Argument - als Ziel interpretiert - Erfolg hat.
Ein Ableitungsbaum beschreibt die grammatische Struktur eines Satzes. Seine Wurzel ist das Satzsymbol, seine Blätter in Hauptreihenfolge bilden den Satz.
\note{Botschaft 3}{Es ist mitunter leichter (oder überhaupt erst möglich), für komplexe Probleme
\begin{enumerate*}
\item eine potentielle Lösung zu "erraten" und dazu
\item ein Verfahren zu entwickeln, welches diese Lösung auf Korrektheit testet,
\end{enumerate*}
als zielgerichtet die korrekte Lösung zu entwerfen. Hierbei kann man den Backtrack-Mechanismus nutzen.}
Strategie: Ein Prädikat $moegliche_loesung(L)$ generiert eine potentielle Lösung, welche von einem Prädikat $korrekte_loesung(L)$ geprüft wird:
\begin{itemize*}
\item Besteht $L$ diesen Korrektheitstest, ist eine Lösung gefunden.
\item Fällt $L$ bei diesem Korrektheitstest durch, wird mit Backtrack das Prädikat $moegliche_loesung(L)$ um eine alternative potentielle Lösung ersucht.
(vgl.: Lösen NP-vollständiger Probleme, Entscheidung von Erfüllbarkeit)
\end{itemize*}
ein Beispiel: konfliktfreie Anordnung von $N$ Damen auf einem $N\times N$ Schachbrett (BSP13.PRO)
\item ... und noch eine (in die Wissensdarstellung etwas "natürliche" Intelligenz investierende, den Problemraum enorm einschränkende) Variante: Liste der Spaltenindizes
\item eine Chance, auch solche Probleme einer Lösung zuzuführen, für die man keinen (determinierten) Lösungsalgorithmus kennt und
\item das klassische Einsatzgebiet zahlreicher KI-Tools - auch der Logischen Programmierung.
\end{enumerate*}
}
Was ist eine Heuristik? Worin unterscheidet sich eine heuristische Problemlösungsmethode von einem Lösungsalgorithmus?
Heuristiken bewerten die Erfolgsaussichten alternativer Problemlösungsschritte. Eine solche Bewertung kann sich z.B. ausdrücken in
\begin{itemize*}
\item einer quantitativen Abschätzung der "Entfernung" zum gewünschten Ziel oder der "Kosten" für das Erreichen des Ziels,
\item einer quantitativen Abschätzung des Nutzens und/oder der Kosten der alternativen nächsten Schritte,
\item eine Vorschrift zur Rangordnung der Anwendung alternativer Schritte, z.B. durch Prioritäten oder gemäß einer sequenziell abzuarbeitenden Checkliste.
\end{itemize*}
Ein Beispiel: Das Milchgeschäft meiner Großeltern in den 40er Jahren
\begin{itemize*}
\item Der Milchhof liefert Milch in großen Kannen.
\item Kunden können Milch nur in kleinen Mengen kaufen.
\item Es gibt nur 2 Sorten geeichter Schöpfgefäße; sie fassen 0.75 Liter bzw. 1.25 Liter.
\item Eine Kundin wünscht einen Liter Milch.
\end{itemize*}
\begin{enumerate*}
\item Wenn das große Gefäß leer ist, dann fülle es.
\item Wenn das kleine Gefäß voll ist, dann leere es.
\item Wenn beides nicht zutrifft, dann schütte so viel wie möglich vom großen in das kleine Gefäß.
\end{enumerate*}
Prädikat $miss_ab(VolGr, VolKl, Ziel, InhGr, InhKl)$ mit
\begin{itemize*}
\item VolGr - Volumen des großen Gefäßes
\item VolKl - Volumen des kleinen Gefäßes
\item Ziel - die abzumessende (Ziel-) Menge
\item InhGr - der aktuelle Inhalt im großen Gefäß
\item InhKl - der aktuelle Inhalt im kleinen Gefäß
1. Für die systematische Suche eines Pfades kann der Suchprozess einer Folge von Resolutionsschritten genutzt werden. Man muss den Suchprozess nicht selbst programmieren.
2. Für eine heuristische Suche eines Pfades gilt Botschaft 4: Sie ist das klassische Einsatzgebiet zahlreicher KI-Tools - auch der Logischen Programmierung.
}
Anwendungen
\begin{itemize*}
\item Handlungsplanung, z.B.
\begin{itemize*}
\item Suche einer Folge von Bearbeitungsschritten für ein Produkt, eine Dienstleistung, einen "Bürokratischen Vorgang"
\item Suche eines optimalen Transportweges in einem Netzwerk von Straßen-, Bahn-, Flugverbindungen
\end{itemize*}
\item Programmsynthese = Handlungsplanung mit ...
\begin{itemize*}
\item ... Schnittstellen für die Datenübergabe zwischen "Handlungsschritten" (= Prozeduraufrufen) und
\item ... einem hierarchischen Prozedurkonzept, welches die Konfigurierung von "Programmbausteinen" auf mehreren Hierarchie-Ebenen
\end{itemize*}
\end{itemize*}
Ein Beispiel: Suche einer zeitoptimalen Flugverbindung (BSP15.PRO)
\begin{itemize*}
\item Repräsentation als Faktenbasis $verbindung(Start,Zeit1,Ziel,Zeit2,Tag).$
\item Start - Ort des Starts
\item Zeit1 - Zeit des Starts
\item Ziel - Ort der Landung
\item Zeit2 - Zeit der Landung
\item Tag - 0, falls Zeit1 und Zeit2 am gleichen Tag und 1 ansonsten
\item möglich:
\begin{itemize*}
\item$verbindung(fra,z(11,45),ptb,z(21,0),0).$
\item$verbindung(fra,z(11,15),atl,z(21,25),0).$
\item$verbindung(ptb,z(24,0),orl,z(2,14),1).$
\item$verbindung(atl,z(23,30),orl,z(0,54),1).$
\end{itemize*}
\end{itemize*}
In einer dynamischen Wissensbasis wird die bislang günstigste Verbindung in Form eines Faktes $guenstigste([ v(Von,Zeit1,Nach,Zeit2,Tag), ... ], Ankunftszeit, Tag ).$ festgehalten und mit den eingebauten Prädikaten $assert(<Fakt>)$ - zum Einfügen des Faktes - und $retract (<Fakt>)$ - zum Entfernen des Faktes - bei Bedarf aktualisiert.
Zum Beispiel $guenstigste([v(fra,z(11,45),ptb,z(21,00),0),v(ptb,z(24,0),orl,z(2,14),1)],z(2,14),1).$ erklärt den Weg über Pittsburgh zum bislang günstigsten gefundenen Weg.
\paragraph{"Logeleien" als Prolog-Wissensbasen}
\note{Botschaft 6}{
\begin{enumerate*}
\item "Logeleien" sind oft Aussagen über Belegungen von Variablen mit endlichem Wertebereich, ergänzt um eine Frage zu einem nicht explizit gegebenen Wert.
\item Dabei handelt es sich um Grunde um eine Deduktionsaufgabe mit einer Hypothese zu einem mutmaßlichen Wert der gesuchten Variablen. Deshalb ist es oft auch mit dem "Deduktionstool" Prolog lösbar, denn Prolog tut im Grunde nichts anderes als ein ziel-gerichtetes "Durchprobieren" legitimer Deduktionsschritte im "Generate - and - Test" - Verfahren.
\end{enumerate*}
}
Beispiel SUDOKU (BSP17.PRO)
\paragraph{Tools für die formale Logik}
\note{Botschaft 7}{Auch in der formalen Logik gibt es Deduktionsaufgaben, bei der Variablenbelegungen gesucht sind, welche eine Aussage wahr machen:
\begin{enumerate*}
\item Meist geschieht das durch systematische Auswertung der Aussage, wozu das Suchverfahren von Prolog genutzt werden kann.
\item Auch hier geht es oft um gesuchte Werte für Variablen. Deshalb ist es oft auch mit dem "Deduktionstool" Prolog lösbar, denn Prolog tut im Grunde nichts anderes als ein ziel-gerichtetes "Durchprobieren" legitimer Deduktionsschritte im "Generate - and - Test" - Verfahren.
